W trójkącie równoramiennym ostrokątnym ABC mamy dane \(\displaystyle{ |AC|=|BC|=b}\) oraz kat ACB=\(\displaystyle{ \alpha}\) .Z wierzchołka kata B przez srodek okregu opisanego na tym trojkacie poprowadzono prosta przecinajaca bok AC w punkcie D. Oblicz dlugosc odcinka BD.
wpadł juz na pomysl rozwiazania tego zadania jednak cos nie zgadza sie z odpowiedzia , napisze roozwiazanie:
zauwazyłam ze jesli przejdzie przez srodek okregu ta prosta to ona bedzie styczna do okregu i powstana dwa trójkaty prostokatne DCB oraz DAB.
\(\displaystyle{ |DC|=x}\)
\(\displaystyle{ |DA|=y}\)
\(\displaystyle{ x+y=b}\)
\(\displaystyle{ y=b-x}\)
obliczam dlugosc AB wyszlo mi \(\displaystyle{ 2bsin\frac{\alpha}{2}}\)
korzystam teraz z dwóch twierdzen pitagorasa
\(\displaystyle{ |DE|=y}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2=b^2}\)
\(\displaystyle{ y^2=b^2-x^2}\)
\(\displaystyle{ y^2+(b-x)^2=4b^2sin^\frac{\alpha}{2}}\)
\(\displaystyle{ b^2-x^2+b^2-2bx+x^2=4b^2sin^2\frac{\alpha}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2b^2-2bx=4b^2sin^\frac{\alpha}{2}}\)
z tego \(\displaystyle{ x=b(1-2sin^2\frac{\alpha}{2}}\)
teraz z tw.pitagorasa licze y
\(\displaystyle{ b^2(1-2sin^2\frac{\alpha}{2}+y^2=b^2}\)
\(\displaystyle{ y=b\sqrt{2(1-cos\alpha}}\)
gdzie popełniłam błąd ?
trójkąt równoramienny
- baksio
- Użytkownik
- Posty: 464
- Rejestracja: 31 maja 2006, o 22:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość/Kraków
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 136 razy
trójkąt równoramienny
Jak, Ci powstaną te trójkąty prostokątne? ja tego nie widzę.
Osobiście bym to zrobił tak:
Niech:
\(\displaystyle{ |BD|=x}\)
Ten odcinek podzielił nam ten trójkąt na dwa trójkąty. Teraz wyznaczasz kąty w trójkącie BDC
kąt DBC =\(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}}\)
kąt BDC =\(\displaystyle{ 180-\frac{3\alpha}{2}}\)
z tw. sinusów
\(\displaystyle{ \frac{x}{sin\alpha}=\frac{b}{sin(180-\frac{3\alpha}{2})}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{bsin\alpha}{sin\frac{3}{2}\alpha}}\)
Osobiście bym to zrobił tak:
Niech:
\(\displaystyle{ |BD|=x}\)
Ten odcinek podzielił nam ten trójkąt na dwa trójkąty. Teraz wyznaczasz kąty w trójkącie BDC
kąt DBC =\(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}}\)
kąt BDC =\(\displaystyle{ 180-\frac{3\alpha}{2}}\)
z tw. sinusów
\(\displaystyle{ \frac{x}{sin\alpha}=\frac{b}{sin(180-\frac{3\alpha}{2})}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{bsin\alpha}{sin\frac{3}{2}\alpha}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 19 lut 2007, o 18:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sliwice
- Podziękował: 4 razy
trójkąt równoramienny
Hmm jest to zadanie z Operona ZZ 2007, tam podali kat ostry 30 stopni i ramiona maja po 12 cm Reszta taka sama. Ale podobnie jak innni mam z tym zadaniem problem.Cos mi sie miesza ;-/ rozbilem wszystkie katy tak jak trzeba (wsazowka w ksiazce mowi ze trzeba twierdzenie sinusow i niby ten odcinek BP to 2 R glupota bo mozna tak zrobic tylko dla prostokatnego.