Styczna do okręgu-Waldemar Pompe

[soszu]

Cześć poszukuję rozwiązań do zadań Waldemara Pompego.\(\displaystyle{ \left\langle 30;34\right\rangle}\)

30. Punkty D, E, F leza odpowiednio na bokach BC, CA, AB trójkata ABC. Odcinki AD, BE i CF przecinaja sie w punkcie P (rys. 30). Wykazać, że jeśli w czworokąty AFPE i FBDP można wpisać okręgi, to również w czworokąt DCEP można wpisać okrąg.

31.W Czworokąt wypukły ABCD można wpisać okrąg. Punkt rys. 30 P lezy na odcinku CD. Wykazać, że istnieje wspólna styczna do okręgów wpisanych w trójkąty ABP, BCP i DAP (rys. 31).

33. Dany jest trójkąt ABC, w którym AC 6=BC (rys. 33). Dwusieczna kata ACB oraz symetralna odcinka AB przecinają się w punkcie D. Wykazać, że punkty A, B, C, D leża
na jednym okręgu.

34. Dany jest trójkąt ABC. Dwusieczna kata ACB przecina okrąg opisany na tym trójkącie w punkcie D (rys. 34). Punkt I leży na odcinku CD. Wykazać, że punkt I jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC wtedy i tylko wtedy,
gdy AD=BD=ID.

.
Z góry dziękuję za hinty i rozwiązania.

[bakala12]

https://www.matematyka.pl/278400.htm
Może coś stąd się przyda. Gdyby jednak coś to przysiądę i pomyślę.

-- 1 cze 2013, o 16:20 --

33:    

Zrzutujmy punkt D na boki AC i BC otrzymując punkty P i Q. Widać, że AD=BD i DP=DQ. Stąd trójkąty prostokątne APD i BDQ są przystające. Zatem kąty PAD i QBD mają równe miary co błyskawicznie daje to, że kąty przy wierzchołkach A i B czworokąta sumują się do 180 stopni czyli tezę.

34:    

Dowód łatwy w obie strony. Uważnie popatrz na kąty wpisane oparte na tych samych łukach. Krótki rachunki na kątach dają szybko tezę.

-- 1 cze 2013, o 16:29 --

32:    

Nie wiem w czym problem. Nazwij sobie punkty styczności z bokami i zastosuj twierdzenie o stycznej. Dowód w obie strony bardzo intuicyjny

Gdyby były jakieś pytania lub wątpliwości to pisz. Postaram się dokładniej wyjaśnić.

[soszu]

32 już sam zrobiłem, ale przy pozostałych wymiękłem.
Ma ktoś pomysł na 30 i 31?

[Ponewor]

W 30. wykorzystaj 27.

[Matik98]

Na niektóre zadania z Pompego nie mogę znaleźć lekarstwa. Nr 32 i 33 zajęły mi może po minucie. Nad 31 siedzę z przerwami parę dni i nie mogę znaleźć właściwego punktu zaczepienia.
Z reguły próbuję nie pytać, bo lepiej samemu dojść do rozwiązania ale czasem po prostu szkoda czasu.

Próbowałem udowodnić, że punkt przecięcia dolnego okręgu przez jego promień, prostopadły do stycznej do górnych okręgów, leży na tej stycznej. Wydaje się łatwe ale trzeba w to wplątać fakt, że w zewnętrzny czworokąt da się wpisać okrąg, co wynika z tekstu zadania.
Sumowanie odcinków, wynikających z czapeczek, lub boków czworokątów opisanych na poszczególnych okręgach itp, do niczego mnie nie doprowadziło.
Można powiedzieć, że "jestem we mgle". Działam trochę po omacku, bo nie bardzo wiem jak sformułować jakiś inny warunek, gwarantujący spełnienie tezy.
Szepnijcie coś, bo czas mi ucieka.