Prostokąty podobne

[walkens1]

Nie mogę sobie poradzić z następującym zadaniem: Dane są dwa prostokąty, pierwszy o bokach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), drugi o bokach \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ d}\). \(\displaystyle{ a \neq c, b \neq d}\). Czy możliwe jest takie dobranie długości poszczególnych boków aby spełnione były zależności \(\displaystyle{ \frac{ab}{cd}=1}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{2a+b}{2c+d}=1}\)? Czy jest to możliwe jeżeli prostokąt nr 2 zastąpimy innym czworokątem? Wydaje mi się że w przypadku prostokątów jest to niemożliwe, natomiast nie mam pojęcia jak sprawa będzie wyglądała w przypadku np. trapezu.

[bakala12]

Wydaje mi się że w przypadku prostokątów jest to niemożliwe

Niestety źle Ci się wydaje. Można tak dobrać boki prostokątów. Wystarczy obrać \(\displaystyle{ c= \frac{b}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ d=2a}\). Możesz sprawdzić, że tak obrane wartości spełniają warunki zadania. A teraz jak do tego dojść. Twoje dwa równania traktujemy jako układ równań dla zmiennych c i d. Z pierwszego równania wyznaczymy d. Podstawiamy do drugiego i traktujemy je jako równianie kwadratowe zmiennej c. Liczymy deltę i pierwiastki.
Problem pojawia się w przypadku gdy mamy prostokąty o jednym z boków dwa razy dłuższym od drugiego. Wówczas otrzymamy dwa identyczne prostokąty i nie będzie spełniony warunek \(\displaystyle{ a \neq c}\) i \(\displaystyle{ b \neq d}\). W tym przypadku nie da się spełnić warunków zadania.
Podsumowując, odpowiedź na pytanie:

Czy możliwe jest takie dobranie długości poszczególnych boków aby spełnione były zależności \(\displaystyle{ \frac{ab}{cd}=1}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{2a+b}{2c+d}=1}\) ?

jest:
negatywna, jeśli \(\displaystyle{ b=2a}\) lub \(\displaystyle{ a=2b}\)
pozytywna w przeciwnym wypadku

Co do pytania:

Czy jest to możliwe jeżeli prostokąt nr 2 zastąpimy innym czworokątem?

to jak dla mnie jest ono postawione zbyt ogólnie.

[walkens1]

Masz rację! Skoro da się spełnić oba warunki dla prostokątów, rozpatrywanie innych czworokątów nie jest mi już potrzebne. Bardzo się cieszę że nie miałem racji bo to znacznie uprości mi dalsze obliczenia. Dzięki za pomoc