Twierdzenie Talesa i podobieństwo trójkątów - uściślenie

[qws]

Witam!
Chciałbym wyjaśnić pewne kwestie związane z twierdzeniem Talesa i podobieństwem trójkątów,
a dokładniej mówiąc to chciałbym uściślić i rozróżnić co jest twierdzeniem Talesa, a co wynika z podobieństwa trójkątów. Ponieważ w wielu książkach/publikacjach (również podręcznikach) i serwisach internetowych często miesza się i utożsamia twierdzenie Talesa z podobieństwem trójkątów. A, oba zagadnienia to nie jest to samo. W niektórych dzisiejszych publikacjach (również w podręcznikach) w ogóle nie rozróżnia się tych dwóch zagadnień. I ja chcę prosić o pomoc w ustaleniu co jest czym.

Część A:
Jak wiadomo, mamy 3 cechy podobieństwa trójkątów:
- kąt-kąt - gdy dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm odpowiadającym kątom drugiego trójkąta - to oba te trójkąty są podobne (trzeci kąt też będzie taki sam w obu trójkątach, czyli 3 kąty będą równe).
- bok-kąt-bok - gdy stosunki dwóch odpowiadających sobie boków są równe i kąty zawarte między tymi bokami w obu trójkątach są równe - to te trójkąty są podobne.
- bok-bok-bok - gdy stosunki odpowiadających sobie boków w obu trójkątach są równe - to trójkąty te są podobne.




Na poniższym rysunku proste k i l są równoległe ( \(\displaystyle{ k||l}\) ):

Na powyższym rysunku mamy dwa trójkąty podobne, co wynika z cechy kąt-kąt (jak widać można wyróżnić dwie grupy kątów - kąty \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ Y}\) (gamma) oraz kąty \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\).

[url=http://wstaw.org/w/1WYQ/][/url]
Skoro te trójkąty są podobne, a my chcemy wyprowadzić wzory na zależności między długościami boków tych trójkątów, to można wykorzystać cechy bok-bok-bok i bok-kąt-bok.

Bok OX odpowiada bokowi OV.
Bok OR odpowiada bokowi RT.
Bok XR odpowiada bokowi VT.


\(\displaystyle{ \frac{a}{c}= \frac{a+b}{c+d}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}}\)

\(\displaystyle{ \frac{e}{f} = \frac{c}{c+d}}\)

\(\displaystyle{ \frac{e}{c}= \frac{f}{c+d}}\) (z cechy bok-kąt-bok)

\(\displaystyle{ \frac{e}{a}= \frac{f}{a+b}}\) (z cechy bok-kąt-bok)

\(\displaystyle{ \frac{e}{f} = \frac{a}{a+b}}\)

I powyższe zależności wynikają tylko z cech podobieństwa trójkątów, a nie z twierdzenia Talesa.

Natomiast twierdzenie Talesa mówi, że jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi (przynajmniej dwoma) to odcinki powstałe na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków powstałych na drugim ramieniu tego kąta.

Odcinki odpowiadające - oznacza takie odcinki, które są zawarte pomiędzy tymi samymi równoległymi.

[url=http://wstaw.org/w/1WYn/][/url]

Czyli jedyne zależności wynikające z samego twierdzenia Talesa to (część B):

\(\displaystyle{ \frac{a}{c}= \frac{b}{d}}\)

\(\displaystyle{ \frac{b}{d}=\frac{a}{c}}\) (w odwrotnej kolejności do powyższego)

\(\displaystyle{ \frac{b}{d}= \frac{a+b}{c+d}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{b}= \frac{c}{d}}\)

\(\displaystyle{ \frac{b}{a+b}= \frac{d}{c+d}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}}\) (ta zależność wynika zarówno z twierdzenia Talesa, jak i również z podobieństwa trójkątów).

I teraz moje pytanie dwa pytania:
1. To są wszystkie zależności wynikające z tylko z samego twierdzenia Talesa (zależności wypisane w części B)? Tak?

2. Moim zdaniem zależność \(\displaystyle{ \frac{b}{a+b}= \frac{d}{c+d}}\) wynika tylko z samego twierdzenia Talesa? Z podobieństwa trójkątów to wg mnie nie wynika. Czy mam rację?

3. Czy dobrze rozumiem (i zauważam) różnice pomiędzy cechami podobieństwa trójkątów, a twierdzeniem Talesa?

[Vether]

1. Tak, to są wszystkie zależności - , ale mam uwagę:

Napisałeś, że \(\displaystyle{ \frac{a}{c}= \frac{a+b}{c+d}}\) nie wynika z twierdzenia Talesa, co jest nieprawdą i sam to później pokazałeś, pisząc, że z tw. Talesa wynika: \(\displaystyle{ \frac{a}{c}= \frac{b}{d}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{b}{d}= \frac{a+b}{c+d}}\), co w sumie daje nam \(\displaystyle{ \frac{a}{c}= \frac{a+b}{c+d}}\).

Z twierdzenia Talesa wynika więc:

\(\displaystyle{ \frac{a}{c}= \frac{b}{d}= \frac{a+b}{c+d}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{b}= \frac{c}{d}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{a+b}= \frac{c}{c+d}}\)

\(\displaystyle{ \frac{b}{a+b}= \frac{d}{c+d}}\)



2. Masz rację, nie wynika wprost, ale bardzo łatwo to udowodnić korzystając tylko z podobieństwa trójkątów:

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ b=a \cdot k}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest skalą podobieństwa. Wówczas także: \(\displaystyle{ d=c \cdot k}\). Mamy zatem:

\(\displaystyle{ \frac{b}{a+b}= \frac{a \cdot k}{a+a \cdot k}= \frac{k}{k+1}}\)

\(\displaystyle{ \frac{d}{c+d}= \frac{c \cdot k}{c+c \cdot k}= \frac{k}{k+1}}\)

\(\displaystyle{ \frac{b}{a+b} = \frac{d}{c+d}}\)

3. Dobrze rozumiesz i zauważasz

PS: Gratuluję dobrze opracowanego tematu.

Pozdrawiam,
Vether

[qws]

Bardzo dziękuję za odpowiedź.

Dobrze, ale jest jeszcze jedna kwestia związana z twierdzeniem Talesa i podobieństwem trójkątów.
A, mianowicie sytuacja jak poniżej:



Tutaj także można wyprowadzić odpowiednie proporcje z twierdzenia Talesa i podobieństwa trójkątów.

Na pewno po obu stronach punktu O mamy kąty wierzchołkowe, których miary są równe.



Zapewne trójkąty ΔZXO i ΔORT oraz ΔOSP są trójkątami podobnymi. Tylko jak to pokazać z cech podobieństwa trójkątów? Na pewno wszystkie mają jeden kąt ostry identyczny (wspomniane wcześniej kąty wierzchołkowe). Jak pokazać z cech podobieństwa, że trójkąt ΔZXO i ΔROT oraz trójkąty ΔZXO oraz ΔSOP są podobne? Czy mógłbym prosić o wyjaśnienie mi tego zagadnienia?

[piasek101]

Równoległość odpowiednich boków skutkuje jednakowymi kątami.

[qws]

Ma to oznaczać, że kąt |<Z| kątowi |<R| i zarazem kąt |<Z| jest równy kątowi |<S|?

[piasek101]

Po dwa boki leżą na ramionach kąta - więc masz dwie pary ||. Trzecia para leży na || przecinających ramiona kąta.

[qws]

Ma to oznaczać, że kąt |<Z| kątowi |<R| i zarazem kąt |<Z| jest równy kątowi |<S| oraz kąt |<Z| jest równy kątowi |<S|.

Tak samo kąt |<X| jest równy kątowi |<T| i kąt |<X| jest równy kątowi |<P|, a także kąt |<T| jest równy kątowi |<P| ?

Oto chodzi?

[piasek101]

Narysuj bardziej ,,skośne" te równoległe przecinające ramiona kąta - od razu zobaczysz równe kąty.

[qws]

Ale, to co napisałem jest prawidłowe?

[Vether]

Ma to oznaczać, że kąt |<Z| kątowi |<R| i zarazem kąt |<Z| jest równy kątowi |<S|?

Nie. Równości zachodzą pomiędzy kątami:

\(\displaystyle{ \sphericalangle Z=\sphericalangle T=\sphericalangle P}\)

\(\displaystyle{ \sphericalangle X=\sphericalangle R = \sphericalangle S}\)

\(\displaystyle{ \sphericalangle T}\) i \(\displaystyle{ \sphericalangle P}\) to kąty naprzemianległe wewnętrznie względem \(\displaystyle{ \sphericalangle Z}\) utworzonych przez dwie proste równoległe oraz odpowiadające względem siebie utworzone przez dwie proste równoległe - z każdej z tych cech wynika ich równość.

Narysuj bardziej ,,skośne" te równoległe przecinające ramiona kąta - od razu zobaczysz równe kąty.

Dokładnie.

[piasek101]

Nie - bo \(\displaystyle{ X=T}\).

[qws]

Acha, faktycznie już widzę.

Czyli mamy taką sytuację:

[piasek101]

tak

[qws]

Bok a odpowiada bokowi b.
Bok a odpowiada bokowi c.


Bok d odpowiada bokowi g oraz bok d odpowiada bokowi OP (suma boków g i i).


Bok e odpowiada bokowi f oraz bok e odpowiada bokowi OS (suma boków f i h).

[piasek101]

tak - jeśli przyjąć, że pytałeś