Twierdzenie Talesa i podobieństwo trójkątów - uściślenie

[Vether]

Tak.

\(\displaystyle{ \frac{a}{b}= \frac{d}{g}= \frac{e}{f}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{c}= \frac{d}{g+1}= \frac{e}{f+h}}\)

[qws]

Dziękuję za udzielone odpowiedzi,
ale ja mam jeszcze dwie sprawy.


Z rysunku


oprócz proporcji:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}= \frac{d}{g}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{b} = \frac{e}{f}}\)



\(\displaystyle{ \frac{a}{c}= \frac{d}{g+i}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{c}= \frac{e}{f+h}}\)
(powyższe cztery proporcje wynikają z podobieństwa trójkątów)

można zapiać też poniższe proporcje (Część A):

\(\displaystyle{ \frac{d}{e} = \frac{f}{g}}\)

\(\displaystyle{ \frac{d}{e}= \frac{f+h}{g+i}}\)



\(\displaystyle{ \frac{d}{e}= \frac{d+g+i}{e+f+h}}\)

\(\displaystyle{ \frac{h}{i} =\frac{d+g+i}{e+f+h}}\)

\(\displaystyle{ \frac{f}{g} = \frac{d+g+i}{e+f+h}}\)



\(\displaystyle{ \frac{d}{g+i}= \frac{e}{h+h}}\)

\(\displaystyle{ \frac{h}{f+e}= \frac{i}{g+d}}\)

\(\displaystyle{ \frac{f}{e} = \frac{g}{d}}\) .

I te zależności (wypisane w " Część A ") wynikają tylko z samego twierdzenia Talesa? Tak?
Dokładniej to te zależności wynikają bardziej rozbudowanej wersji twierdzenia Talesa niż ta podana przeze mnie w pierwszym poście. Ta bardziej dokładniejsza/rozbudowana wersja ma następującą treść:

Jeżeli ramiona kąta lub ich przedłużenia przetniemy przetniemy prostymi równoległymi (przynajmniej dwoma), to odcinki powstałe na jednym ramieniu kąta lub jego przedłużeniu są proporcjonalne do odpowiednich odcinków powstałych na drugim ramieniu tego kąta lub jego przedłużeniu.

Na powyższym rysunku przedłużeniami są odcinki d i e patrząc względem prawej
strony lub patrząc względem lewej strony odcinki f+h i g+i, bądź f i g.

1. Czyli te wyżej wypisane równania wynikają tylko z samego twierdzenia
Talesa?
2. I to są wszystkie równania jakie można tu wypisać?


Część B:

A, teraz mam jeszcze drugą kwestię związaną z twierdzeniem Talesa. Otóż w jednej z książek
znalazłem następujące twierdzenie wynikające z twierdzenia Talesa:

Jeżeli dwie proste równoległe przecięte są kilkoma prostymi, które przechodzą przez ten sam punkt, to odcinki leżące na jednej z tych prostych równoległych są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugiej z nich.

Jak rozumiem wyrażenie "są proporcjonalne do odpowiednich odcinków"
mam rozumieć jako "są proporcjonalne do odpowiadających odcinków". Prawda?



I mamy napisane takie równania:
\(\displaystyle{ \frac{QR}{WT}= \frac{RX}{TY}}\)

\(\displaystyle{ \frac{RX}{TY} = \frac{XZ}{YH}= \frac{QX}{WY}}\)

I teraz moje trzecie pytanie.

3. Czy mógłbym prosić o wyjaśnienie z czego to wynika?
Trójkąty ΔOQR i ΔOWT są podobne, tak samo trójkąty ΔORX i ΔOTY, itd. Ale trójkąty ΔORQ i ΔORX, to chyba nie są podobne. To z czego to wynika? Czy mógłbym prosić o wyjaśnienie mi tego zagadnienia?

[Vether]

Cztery proporcje z Części A są błędne (dwie pierwsze, trzecia dobra, dwie kolejne). Powinny być odwrócone, np:

\(\displaystyle{ \frac{d}{e} = \frac{g}{f}}\)

Narysuj znowu "bardziej skośne proste" i zauważysz, gdzie masz błędy.

[qws]

Faktycznie. Przepraszam. Po prostu źle zapisałem.

\(\displaystyle{ \frac{d}{e} = \frac{g}{f}}\)

\(\displaystyle{ \frac{d}{e} = \frac{g+i}{f+h}}\)



\(\displaystyle{ \frac{d}{e} = \frac{d+g+i}{e+f+h}}\)

\(\displaystyle{ \frac{h}{i} = \frac{e+f+h}{d+g+i}}\)

\(\displaystyle{ \frac{f}{g}= \frac{e+f}{d+g}}\)



\(\displaystyle{ \frac{d}{g+i}= \frac{e}{f+h}}\)

\(\displaystyle{ \frac{h}{f+e} = \frac{i}{g+d}}\)

\(\displaystyle{ \frac{f}{e}= \frac{g}{d}}\)

Teraz powinno być prawidłowo. Wcześniej kilka po prostu źle wpisałem. Jeszcze raz przepraszam.

Tak?

[Vether]

Ok, ok...

1. Tak, te równości wynikają z Twierdzenia Talesa.

2. Hm... Raczej to nie są wszystkie. Można ułożyć dość sporo tego typu proporcji. Nie masz np:

\(\displaystyle{ \frac{h}{i}= \frac{f}{g}= \frac{e}{d}= \frac{f+e}{g+d}}\)

\(\displaystyle{ \frac{h}{e}= \frac{i}{d}}\)

...ale przecież nie chodzi o to, żeby wypisywać wszystkie, tylko żeby potrafić zauważyć te istotne w zadaniu.

[qws]

Dobrze.
A, uda się wyjaśnić jeszcze Część B?

Część B:

A, teraz mam jeszcze drugą kwestię związaną z twierdzeniem Talesa. Otóż w jednej z książek
znalazłem następujące twierdzenie wynikające z twierdzenia Talesa:

Jeżeli dwie proste równoległe przecięte są kilkoma prostymi, które przechodzą przez ten sam punkt, to odcinki leżące na jednej z tych prostych równoległych są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugiej z nich.

Jak rozumiem wyrażenie "są proporcjonalne do odpowiednich odcinków"
mam rozumieć jako "są proporcjonalne do odpowiadających odcinków". Prawda?



I mamy napisane takie równania:
\(\displaystyle{ \frac{QR}{WT}= \frac{RX}{TY}}\)

\(\displaystyle{ \frac{RX}{TY} = \frac{XZ}{YH}= \frac{QX}{WY}}\)

I teraz moje trzecie pytanie.

3. Czy mógłbym prosić o wyjaśnienie z czego to wynika?
Trójkąty ΔOQR i ΔOWT są podobne, tak samo trójkąty ΔORX i ΔOTY, itd. Ale trójkąty ΔORQ i ΔORX, to chyba nie są podobne. To z czego to wynika? Czy mógłbym prosić o wyjaśnienie mi tego zagadnienia?

[Vether]

Co do części B:

Jak już zauważyłeś, możemy znaleźć kilka par trójkątów podobnych: \(\displaystyle{ OXR}\) i \(\displaystyle{ OYT}\); \(\displaystyle{ OXZ}\) i \(\displaystyle{ OYH}\); itd...

Rozważmy trójkąty \(\displaystyle{ OXZ}\) i \(\displaystyle{ OYH}\). Są do siebie podobne w skali \(\displaystyle{ k= \frac{\left| OZ\right| }{\left| OH\right| }}\). Skoro tak, to także \(\displaystyle{ \frac{\left| OX\right| }{\left| OY\right| } =k}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{\left| XZ\right| }{\left| YH\right| }=k}\).

Rozważmy trójkąty \(\displaystyle{ OXR}\) i \(\displaystyle{ OYT}\). Są do siebie podobne w skali \(\displaystyle{ k_2= \frac{\left| OX\right| }{\left| OY\right| }}\), a przecież stosunek tych boków jest równy \(\displaystyle{ k.}\) Stąd: \(\displaystyle{ k_2=k}\) i wniosek, że rozważane trójkąty są do siebie podobne w takiej samej skali co dwa poprzednie - \(\displaystyle{ k}\).

Rozważając kolejne pary trójkątów dochodzimy do wniosku, że wszystkie możliwe do utworzenia w ten sposób pary trójkątów podobnych są podobne do siebie w skali równej \(\displaystyle{ k}\), stąd także stosunek ich odpowiednich boków jest równy \(\displaystyle{ k}\).

Więc skoro trójkąty\(\displaystyle{ OQR}\) i \(\displaystyle{ OTW}\) są do siebie podobne w skali \(\displaystyle{ k}\), to także:

\(\displaystyle{ \frac{\left| QR\right| }{\left| WT\right| }=k}\)

Tak samo:

\(\displaystyle{ \frac{\left| RX\right| }{\left| TY\right| } =k}\)

Więc ostatecznie:

\(\displaystyle{ k= \frac{\left| QR\right| }{\left| WT\right| } = \frac{\left| RX\right| }{\left| TY\right| } = \frac{\left| XZ\right| }{\left| YH\right| } = \frac{\left| QX\right| }{\left| WY\right| } = \ldots}\)

[qws]

Dziękuję bardzo za udzielone wyjaśnienia. Wszystko rozumiem oprócz jednego.

Rozważmy trójkąty \(\displaystyle{ OXR}\) i \(\displaystyle{ OYT}\). Są do siebie podobne w skali \(\displaystyle{ k_2= \frac{\left| OX\right| }{\left| OY\right| }}\), a przecież stosunek tych boków jest równy \(\displaystyle{ k.}\) Stąd: \(\displaystyle{ k_2=k}\) i wniosek, że rozważane trójkąty są do siebie podobne w takiej samej skali co dwa poprzednie - \(\displaystyle{ k}\).

W trzecim zdaniu (powyżej) jest napisane - " Są do siebie podobne w skali \(\displaystyle{ k_2= \frac{\left| OX\right| }{\left| OY\right| }}\), a przecież stosunek tych boków jest równy \(\displaystyle{ k.}\) ". I właśnie nie rozumiem skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ k _{2}=k}\) ?

[Vether]

Rozważmy trójkąty \(\displaystyle{ OXZ}\) i \(\displaystyle{ OYH}\). Są do siebie podobne w skali \(\displaystyle{ k= \frac{\left| OZ\right| }{\left| OH\right| }}\). Skoro tak, to także \(\displaystyle{ \frac{\left| OX\right| }{\left| OY\right| } =k}\)

\(\displaystyle{ k_2=\frac{\left| OX\right| }{\left| OY\right| } =k \Rightarrow k_2=k}\)

Stąd;)

[qws]

Już wszystko zrozumiałem.

Bardzo dziękuję za poświęcony czas i udzieloną mi pomoc!!

Życzę Wszystkiego dobrego!!

-- 27 maja 2013, o 20:19 --

Acha, i jeszcze jedno małe pytanie.

Ale, oczywiście trójkąty OXZ i ORX oraz OTY i OYH nie są podobne?
Wg mnie nie.-- 28 maja 2013, o 12:11 --Witam!

Chciałbym wyjaśnić jeszcze jedną kwestię z związaną z twierdzeniem Talesa.

Otóż znalazłem dziś w jednej z książek taki rysunek:

(rys.1.)

wraz z opisem:

Jeżeli dwie proste przetniemy prostymi równoległymi, to długości odcinków utworzonych na jednej prostej są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków utworzonych na drugiej prostej.

Na powyższym rysunku rozkład kątów wygląda następująco:
(rys.2.)

I dla powyższego rysunku możemy wypisać następujące zależności (wynikające z twierdzenia Talesa):

\(\displaystyle{ \frac{a}{c}= \frac{b}{d}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{b}= \frac{c}{d}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{a+b}= \frac{c}{c+d}}\)

\(\displaystyle{ \frac{b}{a+b}= \frac{d}{c+d}}\)

\(\displaystyle{ \frac{b}{d}= \frac{a+b}{c+d}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{c}= \frac{a+b}{c+d}}\)

I mam rozumieć, że powyższy pierwszy rysunek (rys.1.) jest tak naprawdę "uciętym" fragmentem rysunku takiego jak poniżej:

[url=http://img22.otofotki.pl/cx885_d4.png.html][/url](rys.3.) .

Rysunki rys.1. i rys.2. to w rzeczywistości fragmenty rysunku rys.3. Po prostu na rysunkach rys.1. i rys.2. nie dorysowano tej lewej części (lewego fragmentu) z rysunku rys.3. Na rysunkach rys.1. i rys.2. pominięto lewą część rysunku rys.3. I w rzeczywistości/w pełnej wersji rysunki rys.1. i rys.2. wyglądają tak jak rysunek rys.3. dla twierdzenia Talesa. Rysunki rys.1. i rys.2. są uproszczonymi wersjami rysunku rys.3.

Czy dobrze to zrozumiałem?

[Vether]

Ale, oczywiście trójkąty OXZ i ORX oraz OTY i OYH nie są podobne?
Wg mnie nie.

Masz rację, nie są podobne.

I mam rozumieć, że powyższy pierwszy rysunek (rys.1.) jest tak naprawdę "uciętym" fragmentem rysunku takiego jak poniżej:

Można tak powiedzieć i można tak to sobie tłumaczyć, ale co jeśli te dwie proste będą do siebie równoległe? Stosunki będą zachowane, a nie będziesz mógł dorysować kąta, bo proste równoległe się nigdy nie przetną. Musisz pamiętać o tym fakcie. Ale w każdym razie można tak rozumować.

[qws]

Jeszcze raz bardzo dziękuję za udzieloną mi pomoc!!!