wykazać, że proste mają punkt wspólny

[kruszewski]

Jest to jeden z punktów w którym owa prosta przecina okrąg. Drugi taki punkt jest tym poszukiwanym.

[Ponewor]

W takim razie, to nie prosta \(\displaystyle{ p}\) jest przyprostokątną, a prosta \(\displaystyle{ AB}\).

[kruszewski]

Moim zdaniem AB jest odcinkiem (rzeczownik rodzaju męskiego) (posiadającym miarę ) przynależnym do prostej \(\displaystyle{ p}\) zwyczajowo, choć niegramatycznie nazywanym przyprostokątną która jest rodzaju żeńskiego.
AB jest bokiem przyprostokątnym ale i przeciwprostokątnym odpowiednich trójkątów o bokach przynależnych do wzajemnie odpowiednio prostopadłych prostych.
W.Kr.
PS.
Jak więc nazywać prostą do której przynależy bok trójkąta prostokątnego przeciwległy kątowi prostemu i proste do których przynależą pozostałe boki tego trójkąta?
Stąd takie moje nazwanie tej prostej.
W.Kr.

[Ponewor]

Nie rzecz w nazewnictwie. Właśnie Pan stwierdził, że odcinek \(\displaystyle{ AB}\) należy do prostej \(\displaystyle{ p}\), a właśnie to należało wykazać.

[kruszewski]

Właściwie to mógłbym tego rysunku nie opatrywać komentarzem i podpisać jak go jak Bhaskara podpisał inny, jakże ważniejszy i mniej skomplikowany rysunek. Patrz !
W.Kr.
PS.
Można oczywista dopisać zdanie które poprawione względem poprzedniego wpisu powinno być takie:
Prosta [ tex] p [/latex] i bok \(\displaystyle{ AB}\) trójkąta prostokątnego \(\displaystyle{ AEB}\) i trójkąta prostokątnego \(\displaystyle{ AFB}\) leżą na wspólnych punktach \(\displaystyle{ PQB}\) zatem leżą w tej samej prostej. Zatem punkt \(\displaystyle{ A}\) jest jednoznacznie wyznaczony przez prostą \(\displaystyle{ p}\).
Za zamieszanie powstałe z mojej winy przepraszam.
W.Kr.

[Ponewor]

Patrzę w rysunek i teraz już gubię się zupełnie. Wszak prosta \(\displaystyle{ p}\) i bok przeciwprostokątny trójkąta \(\displaystyle{ AFB}\) nie mają żadnych punktów wspólnych poza punktem \(\displaystyle{ A}\), ale to musimy dopiero wykazać.

[Qń]

prosta \(\displaystyle{ p}\) i bok przeciwprostokątny trójkąta \(\displaystyle{ AFB}\) mają wspólne punkty \(\displaystyle{ P,G,B}\)

Chyba raczej \(\displaystyle{ P,Q,B}\) i chyba raczej chodzi o przyprostokątną, ale nie zmienia to faktu, że Pańskie rozwiązanie jest blefem. Ponieważ nie pisze Pan jasno jaki jest tok rozumowania, nie da się z całą pewnością wskazać w którym miejscu jest ten blef, ale prawdopodobnie zakłada Pan, że \(\displaystyle{ A,P,Q}\) są współliniowe, podczas gdy to jest właśnie to co trzeba wykazać.

I przede wszystkim - nigdzie nie wykorzystuje Pan założenia na temat punktów \(\displaystyle{ P,Q}\) (tzn. tego, że to przecięcie stosownych okręgów), więc gdyby rozwiązanie było prawidłowe, to by oznaczało, że dowolna sieczna okręgu przecina ten okrąg w tym samym punkcie.

Q.

[kruszewski]

Zacytuję:
"Dwa dowolnie wybrane okręgi \(\displaystyle{ k_1}\) i \(\displaystyle{ k_2}\) styczne do l i okręgu  przecinają się w punktach P i Q wyznaczając prostą \(\displaystyle{ p}\) która z prostą l tworzy kąt \(\displaystyle{ \beta}\) ..."
Zatem nie pisze Kolega prawdy.
A blefować, to co znaczy? Udawać że co ?
A może Kolega czegoś nie widzi ?

W.Kr.
W końcu nie jest to moje zadanie. Nie ja ubiegam się o laur.
Nie jestem pokerzystą.

[Qń]

Zacytuję:
"Dwa dowolnie wybrane okręgi \(\displaystyle{ k_1}\) i \(\displaystyle{ k_2}\) styczne do l i okręgu  przecinają się w punktach P i Q wyznaczając prostą \(\displaystyle{ p}\) która z prostą l tworzy kąt \(\displaystyle{ \beta}\) ..."
Zatem nie pisze Kolega prawdy.

Piszę prawdę - nigdzie Pan tego faktu nie wykorzystuje.

Może łatwiej będzie Panu zrozumieć co mam na myśli, proponuję eksperyment. Niech tym razem \(\displaystyle{ P,Q}\) będą dowolnymi punktami wewnątrz okręgu, a prosta \(\displaystyle{ GNM}\) symetralną odcinka \(\displaystyle{ PQ}\). Czy mógłby Pan wskazać w którym miejscu psuje się w tym wypadku Pańskie rozumowanie? Oznaczenia jak u Pana:

rysunek1.png (6.23 KiB) Przejrzano 492 razy

A blefować, to co znaczy?

W slangu matematycznym: przedstawiać skomplikowane, ale błędne rozwiązanie - czasem świadomie (żeby "oszukać" sprawdzającego), a przeważnie nieświadomie (nie zauważając na przykład, że zakłada się tezę).

A może Kolega czegoś nie widzi ?

Oczywiście nie wykluczam takiej możliwości.

Q.

[kruszewski]

W moim rozumowaniu prosta GMN nie musi być symetralną cięciwy PQ. Narysowana jest tak by pokazać ze n jest prostopadłą do PQ, po prostu konstrukcja prostopadłej. Tego założenia nie musiałem czynić.

Co do eksperymentu, to nie można powiedzieć "Niech tym razem P,Q będą dowolnymi punktami wewnątrz okręgu, a prosta GNM symetralną odcinka PQ" bo nie są to dowolne punkty ale dwa takie, że:"Dwa dowolnie wybrane okręgi k1 i k2 styczne do i i okręgu  przecinają się w punktach P i Q " Być może brakuje tu słowa jeżeli ?
Ale z treści postawionego problemu już to jednoznacznie wynika.
Dziękuję za podpowiedź. Slangu matematycznego nie znam.
Pozdrawiam,
W.kr.

[Qń]

W moim rozumowaniu prosta GMN nie musi być symetralną cięciwy PQ.

Owszem, musi - przecież przechodzi przez środki obu okręgów. Inaczej mówiąc: nic w Pańskim rozwiązaniu by się nie zmieniło, gdyby prostą \(\displaystyle{ n}\) zdefiniowałby Pan jako symetralną odcinka \(\displaystyle{ PQ}\).

Co do eksperymentu, to nie można powiedzieć "Niech tym razem P,Q będą dowolnymi punktami wewnątrz okręgu, a prosta GNM symetralną odcinka PQ" bo nie są to dowolne punkty ale dwa takie, że:"Dwa dowolnie wybrane okręgi k1 i k2 styczne do i i okręgu  przecinają się w punktach P i Q "

Nie zrozumiał Pan - próbuję naprowadzić Pana na Pański błąd w rozumowaniu, pytając się gdzie to rozumowanie by się psuło gdyby \(\displaystyle{ P,Q}\) nie były takie jak w zadaniu, tylko dowolne. Oczywiście musi się gdzieś psuć, bo nie jest prawdą, że prosta przechodząca przez dowolne punkty \(\displaystyle{ P,Q}\) przechodzi przez ustalony punkt \(\displaystyle{ A}\) - pytam zatem: w którym dokładnie miejscu się psuje?

Q.

[kruszewski]

Nie wiem, proszę o objaśnienie.

[Qń]

Ja tym bardziej nie wiem - bo nie przedstawił Pan swojego rozumowania jasno.

To do Pana jest prośba, żeby prześledził uważnie swój tok rozumowania i wskazał miejsce, w którym jakiś użyty przez Pana argument działa dla punktów \(\displaystyle{ P,Q}\) takich jak w zadaniu, ale nie działa dla dowolnych punktów \(\displaystyle{ P,Q}\).

Zgadywałbym, że chodzi o moment, w którym wprowadza Pan trójkąt \(\displaystyle{ ABF}\) i milcząco zakłada, że punkty \(\displaystyle{ P,Q}\) leżą na odcinku \(\displaystyle{ AB}\); ewentualnie o nieuprawnione założenie, że \(\displaystyle{ \angle DCB = \angle FAB}\) - ale napisał to Pan tak niejasno, że głowy za to nie dam.

Q.

[kruszewski]

Na rysunku są zaznaczone odpowiednie kąty proste, co oznacza :
1. prostopadłość AF do l,
2. prostopadłość BE do AF zatem i prostopadłość BD zawierającego się w BE do AF,
3. prostopadłość l i BE do AF pociąga za sobą równoległość BD i BE do l.
4. zatem trójkąty CDB i AEB mające boki odpowiednio równoległe a w tym dwa takie że jeden zawierają się w drugim, BD zawiera się w BE, BC zawiera się w BA a ten w prostej psą podobne. Zatem kąty zaznaczone jako \(\displaystyle{ \alpha}\) są sobie równe.
Stąd uprawnioną jest ich równość.


Postawione pytanie dotyczyło prostych wyznaczonych przez punkty przecięcia się dwu okręgów określonych warunkami styczności do trzeciego i jego siecznej. Zatem nie wynika z tego potrzeba wykazywania tego, że dla innych punktów relacja ta nie zachodzi.
Gdyby zadanie postawione było inaczej : wykaż, że tylko dla ..... wtedy oczywista należałoby poszukać odpowiedniego dowodu.
Zawężenie problemu nie pociąga za sobą konieczności jego rozszerzania.
Może to być oddzielnym zadaniem, nawet dającym satysfakcję, ale nie nie jest koniecznym do wykazania pierwszego.
W.Kr.

[Qń]

BC zawiera się w BA

To jest właśnie to co jest do udowodnienia. Skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ A,B,C}\) są współliniowe?

Postawione pytanie dotyczyło prostych wyznaczonych przez punkty przecięcia się dwu okręgów określonych warunkami styczności do trzeciego i jego siecznej. Zatem nie wynika z tego potrzeba wykazywania tego, że dla innych punktów relacja ta nie zachodzi.

Spróbuję to wytłumaczyć raz jeszcze.

Jeśli ktoś udowadnia tw. Pitagorasa nie wykorzystując założenia, że trójkąt jest prostokątny, to z całą pewnością można powiedzieć, że jego rozumowanie jest błędne - wszak nie w każdym trójkącie zachodzi równość \(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\). Jak można pomóc mu znaleźć błąd w jego rozumowaniu? Można poprosić, by rozważył trójkąt na przykład o bokach \(\displaystyle{ 1,1,1}\) i sprawdzał krok po kroku w którym momencie jego rozumowanie się psuje.

Analogiczna sytuacja ma miejsce tutaj - nie wykorzystał Pan nigdzie założenia (nie jest bowiem wykorzystaniem założenia stwierdzenie, że \(\displaystyle{ P,Q}\) to przecięcie jakichś okręgów, jeśli nie korzysta się w ogóle z własności tych okręgów), a jednak wydaje się Panu, że udowodnił Pan tezę. I ja próbuję pomóc znaleźć błąd w tym rozumowaniu analogicznie - proponując by rozpatrzył Pan sytuację w której teza nie zachodzi i sprawdził który argument w Pańskiego rozwiązania wówczas zawodzi.

I jeszcze tak na marginesie - wygląda na to, że robi Pan częsty błąd który zdarza się w geometrii: mianowicie wykonuje Pan rysunek, w którym teza zachodzi i potem wnioskuje z tego co "widać" na rysunku. Dlatego rozsądną strategią jest zrobienie rysunku, na którym teza nie zachodzi, bo wtedy nie ma ryzyka, że tę tezę założymy.

Q.