wykazać, że proste mają punkt wspólny

[platynamen]

Zadanie z inwersji: Dany jest okrąg \(\displaystyle{ o_1}\) o środku S oraz punkt P, leżący na zewnątrz tego okręgu. Przez punkt P poprowadzono prostą k, przecinającą okrąg \(\displaystyle{ o_1}\) w punktach A i B. Punkt C jest symetryczny do punktu B względem prostej PS. Prosta \(\displaystyle{ m_k}\) przechodzi przez punkty A i C. Wykazać, że wszystkie proste \(\displaystyle{ m_k}\) mają punkt wspólny.

[bakala12]

Zadanie banalne jeśli zna się własności biegunowej. Niech D będzie symetryczny do A względem PS. Punkty P,D,C są oczywiście współliniowe. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie Q. Z symetrii rysunku punkty P,S,Q są współliniowe (łatwo to uzasadnić). Ponieważ Q leży na prostej PS oraz na biegunowej punktu P to Q jest obrazem punktu P w inwersji względem okręgu o i nie zależy od wyboru prostej \(\displaystyle{ m _{k}}\).