Trójkąt i dwusieczna. Wykazywanie.

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Unique511
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 20 paź 2012, o 19:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mielec
Podziękował: 9 razy

Trójkąt i dwusieczna. Wykazywanie.

Post autor: Unique511 »

W trójkącie ABC dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie P. Wykaż, że \(\displaystyle{ \frac{AP}{AC}= \frac{BP}{BC}}\)
Awatar użytkownika
wujomaro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2154
Rejestracja: 27 lis 2009, o 19:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 299 razy

Trójkąt i dwusieczna. Wykazywanie.

Post autor: wujomaro »

Ciśnij z tw. sinusów. Masz rysunek?
Pozdrawiam!
Unique511
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 20 paź 2012, o 19:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mielec
Podziękował: 9 razy

Trójkąt i dwusieczna. Wykazywanie.

Post autor: Unique511 »

Oczywiście, że mam rysunek. Domyślałem się, że coś z sinusami, ale nie wiem gdzie coś dorysować żeby był kąt prosty i mógł porównywać. Jakaś wskazówka?
Awatar użytkownika
wujomaro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2154
Rejestracja: 27 lis 2009, o 19:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 299 razy

Trójkąt i dwusieczna. Wykazywanie.

Post autor: wujomaro »

Nie musimy mieć kąta prostego. Oznacz sobie kąty:
\(\displaystyle{ \angle APC= \beta \\ \angle BPC = 180^{\circ} - \beta}\)
A wiemy, że \(\displaystyle{ \sin \beta = \sin 180^{\circ}- \beta}\).
Zastosuj tw. sinusów dla trójkątów \(\displaystyle{ APC}\) i \(\displaystyle{ PBC}\).
Pozdrawiam!
Unique511
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 20 paź 2012, o 19:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mielec
Podziękował: 9 razy

Trójkąt i dwusieczna. Wykazywanie.

Post autor: Unique511 »

A da się to wykazać inaczej, nie korzystając z twierdzenia sinusów?
henryk pawlowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 25 cze 2012, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Pomógł: 27 razy

Trójkąt i dwusieczna. Wykazywanie.

Post autor: henryk pawlowski »

Pewnie ,że się da i to na co najmniej dwa różne sposoby:
1)Stosunek pól trójkątów APC i BPC jest tak i, jak stosunek długości odcinków AP i PB. Zastosuj wzór na pole trójkąta jako połowa iloczynu długości dwóch boków i sinusa kąta między nimi ... i po sprawie.
2) Przedłuż bok AC poza punkt C i na przedłużeniu tym obierz taki punkt D , aby odcinek CD równy był bokowi BC. Wtedy z równoległości odcinków CP DB(wykaż to!) i z twierdzenia Talesa otrzymasz tezę. Powodzenia!
Unique511
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 20 paź 2012, o 19:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mielec
Podziękował: 9 razy

Trójkąt i dwusieczna. Wykazywanie.

Post autor: Unique511 »

Dziekuję Wam obydwu.
ODPOWIEDZ