Czworokąt wpisany w okrag

[SuperM4n]

Witam.
Mam problem z takim oto zadaniem. Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu opierająca się o twierdzenia (twierdzenie sinusów odpada) i własności (podobieństwo, jednokładność), nie zaś o trygonometrię (jeśli się tak da).

W okrąg o promieniu R wpisano czworokąt tak, ze jedna jego przekątna jest średnicą tego okręgu i tworzy z sąsiednimi bokami kąty 45 i 60 stopni. Oblicz długość drugiej przekątnej.

Odpowiedź: \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \cdot R}\)

[Vether]

Mógłbyś narysować tą sytuację? Nie bardzo wiem, o które kąty Ci chodzi. Albo przynajmniej opisz.
Jeśli \(\displaystyle{ AC}\) jest średnicą, to które kąty mają ww miary?

[SuperM4n]

Niestety, rysunku do tego nie ma. Jednakże z tego, co sam zrozumiałem, jeśli AC jest średnicą, to np. można uznać, że chodzi o sąsiedniej boki przy kącie C, więc kąt ACB ma 60, a kąt ACD 45 stopni.

[Vether]

Mhm... Ponieważ \(\displaystyle{ \left| AC\right|}\) jest średnicą okręgu, wiemy, że:

\(\displaystyle{ \sphericalangle ABC=90^o}\) oraz \(\displaystyle{ \sphericalangle ADC=90^o}\)

Ponadto "z treści zadania":

\(\displaystyle{ \sphericalangle ACB=60^o \Rightarrow \sphericalangle BAC = 30^o}\)

\(\displaystyle{ \sphericalangle ACD=45^o \Rightarrow \sphericalangle CAD =45^o}\)

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/w/1V5T/

Drugą przekątną możemy chyba najprościej obliczyć z Twierdzenia Ptolemeusza. Znasz je?

[SuperM4n]

Niestety, nie znam tego twierdzenia. Jestem w drugiej klasie liceum i nie kojarzę czegoś takiego.

[Vether]

Mhm... Polecam taką opcję: poznasz, zabłyśniesz i w przyszłości na pewno Ci się przyda;) Dość proste:

"W dowolnym czworokącie, który da się opisać w okrąg suma iloczynów długości dwóch przeciwległych boków jest równa iloczynowi długości przekątnych."

Dla zobrazowania na naszym rysunku z Twierdzenia Ptolemeusza mamy:

\(\displaystyle{ \left| AB\right| \cdot \left| CD\right|+\left| BC\right| \cdot \left| AD\right|=\left| AC\right| \cdot \left| BD\right|}\)

Mamy \(\displaystyle{ \left| AC\right|=2R}\)

Masz jakiś pomysł, jak wyrazić długości boków czworokąta?


PS: Ja jestem w pierwszej...

[SuperM4n]

Heh, nowy program nauczania najwyraźniej umieścił teraz to twierdzenie.

Jednak wychodzi na to, że trzeba użyć innego sposobu, dlatego to twierdzenie niezbyt tutaj pasuje.

EDIT:
Zresztą, tym twierdzeniem udowodniłeś tylko coś, co już wiemy. AC równa się średnicy, czyli 2R .

[Vether]

-_- niee... tym twierdzeniem jeszcze nie udowodniłem niczego, bo go jeszcze nie użyliśmy;) do tego dojdziemy...

Chciałeś rozwiązanie nie opierające się na trygonometrii, więc CI takie proponuję;) Kontynuować, czy szukasz czegoś innego?

[SuperM4n]

Masz rację, przepraszam. Źle przeczytałem.

Bez trygonometrii będzie chyba jednak ciężko, bo raczej trudno będzie zdobyć dane liczbowe. Jeśli masz pomysł z trygonometrii, możesz podać.

[Vether]

Nie będzie aż tak ciężko;)

Obliczmy \(\displaystyle{ \left| AD\right|}\):

\(\displaystyle{ \left| AD\right|=\left| CD\right|}\)

Zauważ, że \(\displaystyle{ \left| AD\right|}\) jest przekątną kwadratu zbudowanego na promieniu okręgu, więc:

\(\displaystyle{ \left| AD\right|=\left| CD\right|=R \sqrt{2}}\)

Mamy już dwa boki. Czas na dwa kolejne:

Poprowadźmy promień ze środka okręgu do wierzchołka \(\displaystyle{ B}\).

Promienie są sobie równe, więc trójkąt \(\displaystyle{ BCO}\) ma dwa ramiona o długości \(\displaystyle{ R}\) a kąty przy nich są równe. Wynoszą \(\displaystyle{ 60^o}\) więc także trzeci kąt jest równy, zatem trójkąt ten jest równoboczny. Stąd wniosek, że:

\(\displaystyle{ \left| BC\right|=R}\)

Z pitagorasa liczysz \(\displaystyle{ \left| AB\right|}\) i masz juz wszystkie boki. Tylko pozostało obliczyć z Twierdzenia Ptolemeusza drugą przekątną;)

Powodzenia,
Vether

[SuperM4n]

Dziękuje bardzo za pomoc .