odległość wierzchołka trójkąta od punktu styczności okręgu

[Flecik91]

Treść zadania:

Udowodnij, że dla trójkąta ABC, \(\displaystyle{ p=\frac{a+b+c}{2}}\), punktu styczności D okręgu wpisanego z bokiem AB zachodzą równania:
\(\displaystyle{ \left|AD\right|=p-a}\) i \(\displaystyle{ \left| BD\right|=p-b}\)
Z góry dzięki za każdą podpowiedź

[anna_]

Oznaczenia jak na rysunku.

odległość wierzchołka trójkąta od punktu styczności okręgu.png (10.95 KiB) Przejrzano 556 razy

\(\displaystyle{ \left|AD\right|=p-a}\)


\(\displaystyle{ a=y+z \Rightarrow z=a-y}\)

\(\displaystyle{ b=x+z \Rightarrow z=b-x}\)

\(\displaystyle{ a-y=b-x \Rightarrow y=a-b+x}\)

\(\displaystyle{ c=x+y\\c=x+a-b+x\\c=a-b+2x\\2x=c-a+b\\x=\frac{c-a+b}{2}\\x= \frac{a+b+c-2a}{2}\\x=\frac{a+b+c}{2}-a\\x=p-a}\)

To drugie podobnie.