Wykaż, że punkt P należy do dwusiecznej kąta alfa.

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
mystery-of-silence
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 20 kwie 2013, o 15:19
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy

Wykaż, że punkt P należy do dwusiecznej kąta alfa.

Post autor: mystery-of-silence »

Dany jest kąt ostry \(\displaystyle{ \alpha}\) o wierzchołku \(\displaystyle{ O}\). Na jednym ramieniu tego kąta wybrano punkty \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\), a na drugim - punkty \(\displaystyle{ A _{1}}\) , \(\displaystyle{ B _{1}}\) , w taki sposób, że \(\displaystyle{ \left|OA\right|=\left|OA_{1}\right|}\), \(\displaystyle{ AB _{1}}\) jest prostopadły do \(\displaystyle{ OB}\) i \(\displaystyle{ A _{1}B}\) jest prostopadłe do \(\displaystyle{ OB_{1}}\). Odcinki \(\displaystyle{ AB_{1}}\) i \(\displaystyle{ A_{1}B}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Wykaż, że punkt \(\displaystyle{ P}\) należy do dwusiecznej kąta \(\displaystyle{ \alpha}\).
Ostatnio zmieniony 28 kwie 2013, o 16:12 przez Afish, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale. Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
Awatar użytkownika
Vether
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 408
Rejestracja: 22 kwie 2013, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 114 razy

Wykaż, że punkt P należy do dwusiecznej kąta alfa.

Post autor: Vether »

Trójkąty \(\displaystyle{ OAB'}\) i \(\displaystyle{ OA'B}\) są przystające (kąt, bok, kąt). Ponadto (z symetryczności przykładu) są swoimi odbiciami wzdłuż takiej prostej \(\displaystyle{ k}\), która zawiera w takim razie punkt przecięcia \(\displaystyle{ \left| AB'\right|}\) i \(\displaystyle{ \left| A'B\right|}\) i wspólny wierzchołek \(\displaystyle{ O}\) oraz jest równoodległa od odpowiadających sobie wierzchołków - dla przykładu \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ A'}\) co zaś oznacza, że prosta \(\displaystyle{ k}\) zawiera dwusieczną kąta \(\displaystyle{ \alpha}\), co kończy dowód.
ODPOWIEDZ