W równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) punkty \(\displaystyle{ P, Q, R}\) leżą odpowiednio na odcinkach \(\displaystyle{ \left| AB\right| , \left| AC\right| , \left| AD\right|}\).
Wykaż, że jeśli na czworokącie \(\displaystyle{ APQR}\) można opisać okrąg, to \(\displaystyle{ \left| AR\right| \cdot \left| AD\right| + \left| AP\right| \cdot \left| AB\right| = \left| AQ\right| \cdot \left| AC\right|}\).
Twierdzenie Ptolemeusza, równoległobok
-
Vether
- Użytkownik
- Posty: 408
- Rejestracja: 22 kwie 2013, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 114 razy
Twierdzenie Ptolemeusza, równoległobok
W opisanym przez Ciebie równoległoboku na mocy twierdzenia Ptolemeusza otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \left| AR\right| \cdot \left| PQ\right| +\left| AP\right| \cdot \left| RQ\right| =\left| AQ\right| \cdot \left| PR\right|}\)
Zauważ, że:
\(\displaystyle{ \sphericalangle ACD =\sphericalangle CAB =\sphericalangle QAP = \sphericalangle PRQ}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \sphericalangle CAD = \sphericalangle QAR = \sphericalangle QPR}\)
Zatem na podstawie równości kątów trójkąty \(\displaystyle{ ACD}\) i \(\displaystyle{ PQR}\) są podobne.
Niech \(\displaystyle{ k}\) spełnia \(\displaystyle{ \left| PQ \right| \cdot k =\left| AD\right|}\)
Zauważmy, że wówczas \(\displaystyle{ k}\) spełnia także:
\(\displaystyle{ \left| RQ\right| \cdot k =\left| AB\right|}\)
\(\displaystyle{ \left| PR\right| \cdot k =\left| AC\right|}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \left| AR\right| \cdot \left| PQ\right| +\left| AP\right| \cdot \left| RQ\right| =\left| AQ\right| \cdot \left| PR\right|}\)
\(\displaystyle{ \left| AR\right| \cdot \left| PQ\right| \cdot k +\left| AP\right| \cdot \left| RQ\right| \cdot k =\left| AQ\right| \cdot \left| PR\right| \cdot k}\)
\(\displaystyle{ \left| AR\right| \cdot \left( \left| PQ\right| \cdot k\right) +\left| AP\right| \cdot \left( \left| RQ\right| \cdot k\right) =\left| AQ\right| \cdot \left( \left| PR\right| \cdot k\right)}\)
\(\displaystyle{ \left| AR\right| \cdot \left| AD\right| + \left| AP\right| \cdot \left| AB\right| =\left| AQ\right| \cdot \left| AC\right|}\)
Pozdrawiam,
Vether-- 23 kwi 2013, o 22:29 --PS: Dodam jeszcze, że identyczne zadanie było na tegorocznym finale konkursu PW
\(\displaystyle{ \left| AR\right| \cdot \left| PQ\right| +\left| AP\right| \cdot \left| RQ\right| =\left| AQ\right| \cdot \left| PR\right|}\)
Zauważ, że:
\(\displaystyle{ \sphericalangle ACD =\sphericalangle CAB =\sphericalangle QAP = \sphericalangle PRQ}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \sphericalangle CAD = \sphericalangle QAR = \sphericalangle QPR}\)
Zatem na podstawie równości kątów trójkąty \(\displaystyle{ ACD}\) i \(\displaystyle{ PQR}\) są podobne.
Niech \(\displaystyle{ k}\) spełnia \(\displaystyle{ \left| PQ \right| \cdot k =\left| AD\right|}\)
Zauważmy, że wówczas \(\displaystyle{ k}\) spełnia także:
\(\displaystyle{ \left| RQ\right| \cdot k =\left| AB\right|}\)
\(\displaystyle{ \left| PR\right| \cdot k =\left| AC\right|}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \left| AR\right| \cdot \left| PQ\right| +\left| AP\right| \cdot \left| RQ\right| =\left| AQ\right| \cdot \left| PR\right|}\)
\(\displaystyle{ \left| AR\right| \cdot \left| PQ\right| \cdot k +\left| AP\right| \cdot \left| RQ\right| \cdot k =\left| AQ\right| \cdot \left| PR\right| \cdot k}\)
\(\displaystyle{ \left| AR\right| \cdot \left( \left| PQ\right| \cdot k\right) +\left| AP\right| \cdot \left( \left| RQ\right| \cdot k\right) =\left| AQ\right| \cdot \left( \left| PR\right| \cdot k\right)}\)
\(\displaystyle{ \left| AR\right| \cdot \left| AD\right| + \left| AP\right| \cdot \left| AB\right| =\left| AQ\right| \cdot \left| AC\right|}\)
Pozdrawiam,
Vether-- 23 kwi 2013, o 22:29 --PS: Dodam jeszcze, że identyczne zadanie było na tegorocznym finale konkursu PW