Suma długości boków trójkąta równoramiennego wynosi 24. Jaką długość powinna mieć podstawa
trójkąta, aby po obrocie trójkąta wokół niej, uzyskać bryłę o możliwie największej objętości?
Wzór na stożek: \(\displaystyle{ \frac{1}{3} \pi r^2 H}\)
Z treści zadania mamy:
\(\displaystyle{ 24 = 2x + 2r}\)
Czyli, aby uzyskać bryłę o jak największej objętości szukamy jak największego promienia
(ponieważ ten parametr we wzorze rośnie najbardziej)
Próbowałem się bawić w zapisywanie warunku istnienia trójkąta i szukanie w tym warunku jak
największego \(\displaystyle{ r}\), ale nie wychodziło.
Bryła o jak największej objętości z obrotu trójkąta r.ramie.
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Bryła o jak największej objętości z obrotu trójkąta r.ramie.
Narysuj najpierw taki trójkąt równoramienny. Oznacz sobie długość ramienia np. jako \(\displaystyle{ b}\), wtedy (aby obwód był \(\displaystyle{ 24}\)) podstawa musi mieć długość \(\displaystyle{ 24-2b}\). Dorysuj sobie wysokość \(\displaystyle{ h}\) tego trójkąta spadającą na podstawę, a otrzymasz trójkąty prostokątne o przyprostokątnych \(\displaystyle{ h}\) i \(\displaystyle{ 12-b}\) (połowa podstawy), i przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ b}\). Teraz uzależniasz \(\displaystyle{ h}\) od \(\displaystyle{ b}\) za pomocą twierdzenia Pitagorasa. O ile się nie pomyliłem, wyszło \(\displaystyle{ h=2\sqrt{6b-36}}\).
Teraz wyobrażamy sobie obrót trójkąta wokół podstawy. Powinno być dosyć oczywiste, że po obrocie powstaną dwa stożki o wspólnym promieniu równym \(\displaystyle{ h}\), i wysokości równej \(\displaystyle{ 12-b}\).
Objętość bryły wyraża się więc wzorem \(\displaystyle{ V(b)=\frac23 \cdot \pi \cdot \left( 2\sqrt{6b-36}\right)^2 \cdot \left( 12-b\right)}\)
Po uproszczeniach powinna wyjść funkcja kwadratowa opisująca zależność objętości bryły czyli \(\displaystyle{ V}\) od długości ramienia trójkąta czyli \(\displaystyle{ b}\). Trzeba znaleźć jej wierzchołek, i będzie to takie \(\displaystyle{ b}\), dla którego \(\displaystyle{ V}\) (wartość funkcji czyli objętość bryły) będzie największa. Zauważ, że współczynnik przy \(\displaystyle{ b^2}\) funkcji \(\displaystyle{ V(b)}\) jest ujemny zatem parabola z ramionami skierowanymi w dół, i przyjmuje w wierzchołku wart. największą.
Jak obliczysz już wspomniane \(\displaystyle{ b}\), to później liczysz ile powinna mieć podstawa trójkąta czyli wartość wyrażenia \(\displaystyle{ 24-2b}\) - i to jest odpowiedź.
Jak gdzieś się gubisz to pisz - podpowiemy.
Teraz wyobrażamy sobie obrót trójkąta wokół podstawy. Powinno być dosyć oczywiste, że po obrocie powstaną dwa stożki o wspólnym promieniu równym \(\displaystyle{ h}\), i wysokości równej \(\displaystyle{ 12-b}\).
Objętość bryły wyraża się więc wzorem \(\displaystyle{ V(b)=\frac23 \cdot \pi \cdot \left( 2\sqrt{6b-36}\right)^2 \cdot \left( 12-b\right)}\)
Po uproszczeniach powinna wyjść funkcja kwadratowa opisująca zależność objętości bryły czyli \(\displaystyle{ V}\) od długości ramienia trójkąta czyli \(\displaystyle{ b}\). Trzeba znaleźć jej wierzchołek, i będzie to takie \(\displaystyle{ b}\), dla którego \(\displaystyle{ V}\) (wartość funkcji czyli objętość bryły) będzie największa. Zauważ, że współczynnik przy \(\displaystyle{ b^2}\) funkcji \(\displaystyle{ V(b)}\) jest ujemny zatem parabola z ramionami skierowanymi w dół, i przyjmuje w wierzchołku wart. największą.
Jak obliczysz już wspomniane \(\displaystyle{ b}\), to później liczysz ile powinna mieć podstawa trójkąta czyli wartość wyrażenia \(\displaystyle{ 24-2b}\) - i to jest odpowiedź.
Jak gdzieś się gubisz to pisz - podpowiemy.
-
TedMosby
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 24 mar 2013, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
Bryła o jak największej objętości z obrotu trójkąta r.ramie.
Bardzo, ale to bardzo dokładnie i czytelnie wszystko wyjaśniłeś. Masz do tego dar! Dziękuję bardzo. Wszystko mi wyszło zgodnie z odpowiedzią, faktycznie na początku źle zinterpretowałem polecenie.
Jeśli ktoś by w przyszłości szukał tego zadnia.
Po uproszczeniu wzór będzie miał postać:
\(\displaystyle{ V(b) = 16 \pi (b - 6) (12 - b)}\)
czyli miejsca zerowe to \(\displaystyle{ 6}\) i \(\displaystyle{ 12}\), współczynnik mamy ujemny.
\(\displaystyle{ V}\) jest największe dla wierzchołka funkcji czyli \(\displaystyle{ Bw = \frac{6+12}{2} = 9}\)
Podstawa tego trójkąta wynosi \(\displaystyle{ 6}\)
Jeśli ktoś by w przyszłości szukał tego zadnia.
Po uproszczeniu wzór będzie miał postać:
\(\displaystyle{ V(b) = 16 \pi (b - 6) (12 - b)}\)
czyli miejsca zerowe to \(\displaystyle{ 6}\) i \(\displaystyle{ 12}\), współczynnik mamy ujemny.
\(\displaystyle{ V}\) jest największe dla wierzchołka funkcji czyli \(\displaystyle{ Bw = \frac{6+12}{2} = 9}\)
Podstawa tego trójkąta wynosi \(\displaystyle{ 6}\)