Witam,
Czy ktoś wie jak rozwiązać to zadanie? Jak powinien wyglądać prawidłowy rysunek?
Zadanie: W trapez \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisano okrąg. Ramię \(\displaystyle{ BC}\) zostało podzielone przez punkt styczności z okręgiem na odcinki o długościach \(\displaystyle{ 4\ cm}\) i \(\displaystyle{ 9\ cm}\). Ramię \(\displaystyle{ AD}\) ma długość \(\displaystyle{ 15\ cm}\). Oblicz pole tego trapezu.
Z góry bardzo dziękuję, jeśli znajdzie ktoś czas na rozwiązanie...
okrąg wpisany w trapez
okrąg wpisany w trapez
Ostatnio zmieniony 21 mar 2013, o 10:13 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
okrąg wpisany w trapez
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ S,r}\) odpowiednio środek i długość promienia okręgu wpisanego w trapez \(\displaystyle{ ABCD}\), a przez \(\displaystyle{ E,F,G}\) odpowiednio punkt styczności tego okręgu z bokami \(\displaystyle{ AB, BC, CD}\) trapezu.
Zauważmy najpierw, że trójkąt \(\displaystyle{ BSC}\) jest prostokątny. Istotnie, z twierdzenia o stycznych do okręgu wynika, że \(\displaystyle{ |BE|=|BF|, |CF|=|CG|}\). Ponadto \(\displaystyle{ |ES|=|FS|=|GS|=r}\), więc na mocy cechy bkb przystawania trójkątów \(\displaystyle{ BES, BFS}\) oraz \(\displaystyle{ CFS, CGS}\) stanowią dwie pary przystających trójkątów prostokątnych. Stąd wynika, że \(\displaystyle{ |\angle BSE|=|\angle BSF|}\) oraz \(\displaystyle{ |\angle CSF|=|\angle CSG|}\). To wraz z oczywistą równością \(\displaystyle{ |\angle BSE|+|\angle BSF|+|\angle CSF|+|\angle CSG|=\pi}\) daje w szczególności równość \(\displaystyle{ |\angle BSC|=|\angle BSF|+|\angle CSF|=\frac{\pi}{2}}\). Wobec tego trójkąt \(\displaystyle{ BSC}\) jest prostokątny.
Stosując teraz twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta \(\displaystyle{ BSC}\) oraz dla "mniejszych" trójkątów \(\displaystyle{ BSF, CSF}\) dostajemy odpowiednio
Wobec założenia można przyjąć, że \(\displaystyle{ |BF|=9\ cm, |CF|=4\ cm}\) (nie ma bowiem znaczenia, czy punkt \(\displaystyle{ F}\) leży bliżej punktu \(\displaystyle{ B}\) czy bliżej punktu \(\displaystyle{ C}\)). Stąd i z powyższej równości otrzymujemy \(\displaystyle{ r=6\ cm}\).
Zauważmy dalej, że wysokość trapezu \(\displaystyle{ ABCD}\) jest średnicą okręgu weń wpisanego - ma zatem długość \(\displaystyle{ 12\ cm}\).
Na mocy twierdzenia o czworokącie wypukłym opisanym na okręgu mamy \(\displaystyle{ |AB|+|CD|=|BC|+|AD|}\). Stąd dostajemy \(\displaystyle{ |AB|+|CD|=|BF|+|CF|+|AD|=28\ cm}\).
Ze wzoru na pole trapezu obliczamy ostatecznie pole trapezu \(\displaystyle{ ABCD}\):
Zauważmy najpierw, że trójkąt \(\displaystyle{ BSC}\) jest prostokątny. Istotnie, z twierdzenia o stycznych do okręgu wynika, że \(\displaystyle{ |BE|=|BF|, |CF|=|CG|}\). Ponadto \(\displaystyle{ |ES|=|FS|=|GS|=r}\), więc na mocy cechy bkb przystawania trójkątów \(\displaystyle{ BES, BFS}\) oraz \(\displaystyle{ CFS, CGS}\) stanowią dwie pary przystających trójkątów prostokątnych. Stąd wynika, że \(\displaystyle{ |\angle BSE|=|\angle BSF|}\) oraz \(\displaystyle{ |\angle CSF|=|\angle CSG|}\). To wraz z oczywistą równością \(\displaystyle{ |\angle BSE|+|\angle BSF|+|\angle CSF|+|\angle CSG|=\pi}\) daje w szczególności równość \(\displaystyle{ |\angle BSC|=|\angle BSF|+|\angle CSF|=\frac{\pi}{2}}\). Wobec tego trójkąt \(\displaystyle{ BSC}\) jest prostokątny.
Stosując teraz twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta \(\displaystyle{ BSC}\) oraz dla "mniejszych" trójkątów \(\displaystyle{ BSF, CSF}\) dostajemy odpowiednio
\(\displaystyle{ |BC|^2=|BS|^2+|CS|^2 \\ |BS|^2=|BF|^2+|FS|^2 \\ |CS|^2=|CF|^2+|FS|^2}\).
Uwzględniając teraz, że \(\displaystyle{ |BC|=|BF|+|CF|}\) oraz \(\displaystyle{ |FS|=r}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ (|BF|+|CF|)^2=|BF|^2+|CF|^2+2r^2}\),
tj. \(\displaystyle{ r^2=|BF||CF|}\).
Ostatnią zależność można również otrzymać na podstawie podobieństwa trójkątów (jest ogólnie znana).Wobec założenia można przyjąć, że \(\displaystyle{ |BF|=9\ cm, |CF|=4\ cm}\) (nie ma bowiem znaczenia, czy punkt \(\displaystyle{ F}\) leży bliżej punktu \(\displaystyle{ B}\) czy bliżej punktu \(\displaystyle{ C}\)). Stąd i z powyższej równości otrzymujemy \(\displaystyle{ r=6\ cm}\).
Zauważmy dalej, że wysokość trapezu \(\displaystyle{ ABCD}\) jest średnicą okręgu weń wpisanego - ma zatem długość \(\displaystyle{ 12\ cm}\).
Na mocy twierdzenia o czworokącie wypukłym opisanym na okręgu mamy \(\displaystyle{ |AB|+|CD|=|BC|+|AD|}\). Stąd dostajemy \(\displaystyle{ |AB|+|CD|=|BF|+|CF|+|AD|=28\ cm}\).
Ze wzoru na pole trapezu obliczamy ostatecznie pole trapezu \(\displaystyle{ ABCD}\):
\(\displaystyle{ P=\frac{28\ cm\cdot 12\ cm}{2}=168\ cm^2}\).