Dowodzenie punkty na płaszczyźnie

[kubakl007]

Na płaszczyźnie dane są punkty \(\displaystyle{ A, B, C, D}\). Wykaż, że co najmniej jedna z nierówności \(\displaystyle{ |AC|+|AD| \ge |AB|, |BC|+|BD| \ge |AB|}\) jest prawdziwa.

[Qń]

Gdyby żadna z tych nierówności nie zachodziła, to byłoby:
\(\displaystyle{ |AC|+|AD| < |AB|, |BC|+|BD| < |AB|}\)
a po dodaniu stronami:
\(\displaystyle{ |AC|+|AD|+ |BC|+|BD|< 2|AB|}\)

Tymczasem z nierówności trójkąta mamy:
\(\displaystyle{ |AC|+|BC|\ge |AB|, |AD|+|BD|\ge |AB|}\)
skąd po dodaniu stronami:
\(\displaystyle{ |AC|+|AD|+ |BC|+|BD|\ge 2|AB|}\)

Q.