rodzina kół

[theoldwest]

Na płaszczyźnie dane są koło \(\displaystyle{ K}\) i punkt \(\displaystyle{ P}\) nie leżący w jego wnętrzu. Znaleźć zbiór jaki tworzą środki wszystkich kół leżących w tej płaszczyźnie, przechodzących przez \(\displaystyle{ P}\) (\(\displaystyle{ P}\) należy do brzegu koła) i stycznych do \(\displaystyle{ K}\).

[szw1710]

Mam wrażenie, że podobne zadanie tu kiedyś było. Miałem tam występ, tyle że błędny

[timon92]

co można powiedzieć o różnicy promieni koła \(\displaystyle{ K}\) i koła stycznego do niego przechodzącego przez \(\displaystyle{ P}\)?

[theoldwest]

Blefuję, przepraszam. To będzie hiperbola tak na oko?

[timon92]

przypadek nie spytałem o to co chciałem spytać

chciałem spytać o takie coś: niech \(\displaystyle{ X,Y}\) to środki kół \(\displaystyle{ K}\) i tego drugiego; ile wynosi \(\displaystyle{ |XY - XP|}\)?

słusznie domyślasz się że będzie to hiperbola

ps. nie edytuj postów

[theoldwest]

Ja źle przeczytałem Twoją wypowiedź i sprostowałem, myślałem nad tym od wczoraj i myślałem o hiperboli. Dzięki


Ja to robiłem analitycznie na pałę (tak mi łatwiej) i wyszło mi takie coś:

Bez straty ogólności załóżmy, że \(\displaystyle{ X(0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ P(x_p,y_p),Y(y_1,y_2)}\)

Z warunków zadania mamy równanie krzywej postaci:

\(\displaystyle{ r_1+\sqrt{(x_p-y_1)^2+(y_p-y_2)^2}=\sqrt{y_1^2+y_2^2}}\) gdzie \(\displaystyle{ r_1}\) jest promieniem okręgu o środku w \(\displaystyle{ X}\)

czyli że punkty \(\displaystyle{ Y}\) płaszczyzny są środkami szukanych kół wtedy i tylko wtedy, gdy spełniają równanie \(\displaystyle{ r_1+\sqrt{(x_p-y_1)^2+(y_p-y_2)^2}=\sqrt{y_1^2+y_2^2}}\). Może tak być? Pewnie można pokazać, że to hiperbola przekształcając to równanie.

PS: Ok, nie będę już edytował.

[timon92]

no ale te koła mogą być styczne wewnętrznie, więc równanie jest postaci \(\displaystyle{ r_1=\left| \sqrt{(x_p-y_1)^2+(y_p-y_2)^2} - \sqrt{y_1^2+y_2^2}\right|}\)

z takiej postaci trudno zobaczyć że to jest hiperbola, radziłbym przyjąć \(\displaystyle{ X=(a,0), P=(-a,0)}\)

[theoldwest]

Ano tak. Ja napisałem warunek na styczność zewnętrzną. OK, mam nadzieję, że już sobie poradzę. Dzięki za cierpliwość!