Trapez równoramienny

[sassetkaaa]

1. Przekątna trapezu równoramiennego \(\displaystyle{ ABCD}\) tworzy z dłuższą podstawą \(\displaystyle{ AB}\) kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), a z ramieniem \(\displaystyle{ AD}\) - kąt \(\displaystyle{ \beta}\). Wyznacz stosunek pola trójkąta \(\displaystyle{ ACD}\) do pola trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).

2. W trapez równoramienny wpisano okrąg. Oblicz obwód i pole trapezu, jeśli jego przekątna ma długość \(\displaystyle{ 6cm}\) , a promień okręgu jest równy \(\displaystyle{ 2 cm}\).

3. W okrąg wpisano trapez o wysokości \(\displaystyle{ h}\). Kąt między promieniami okręgu poprowadzonymi do końców jednego z ramion trapezu jest równy \(\displaystyle{ 2 \alpha}\). Wykaż, że pole tego trapezu wyraża się wzorem \(\displaystyle{ P=h ^{2} \ctg \alpha}\).

[wujomaro]

2.

trapez pole i obwód.png (20.97 KiB) Przejrzano 7165 razy

Przenieśmy trójkąt \(\displaystyle{ AED}\) w miejsce trójkąta \(\displaystyle{ BFC}\). Wysokość trapezu jest równa średnicy okręgu w niego wpisanego. \(\displaystyle{ |AB|}\) obliczysz z tw. Pitagorasa. Ten odcinek będzie połową sumy obu podstaw.
Korzystamy z faktu, że w trapez można wpisać okrąg, więc suma długości podstaw będzie równa sumie długości ramion. Można już teraz obliczyć obwód trapezu.
Pozdrawiam!

[sassetkaaa]

ok, to rozumiem już, a te 2 pozostałe? bo nie wiem kompletnie jak się do nich zabrać;/

[wujomaro]

Zad 3
Przede wszystkim zaczynamy od tego, że skoro trapez jest wpisany w okrąg, to ten trapez jest równoramienny.
Rysunek:

trapez pole dowód.png (22.53 KiB) Przejrzano 7084 razy

Czerwone odcinki \(\displaystyle{ OB \ \text{i} \ OC}\) to promienie, a kąt między nimi ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\). Kąty \(\displaystyle{ BOC \ \text{i} \ BAC}\) są oparte na tym samym łuku, \(\displaystyle{ \angle BAC = \frac{\angle BOC}{2}= \frac{2 \alpha}{2}= \alpha}\). Teraz wystawiamy wysokość \(\displaystyle{ h}\) z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\). Zastosujmy teraz \(\displaystyle{ \ctg \alpha}\) dla trójkąta \(\displaystyle{ AGC}\). Teraz wystarczy zauważyć, że długość odcinka \(\displaystyle{ AG}\) jest równa połowie sumy długości podstaw trapezu \(\displaystyle{ ABCD}\).

Podstawić do wzoru i gotowe.

Pozdrawiam!

[sassetkaaa]

do tego jakoś doszłam:) ale tego pierwszego zadania w ogóle nie rozumiem;/