Trapez równoramienny opisany na okręgu

[S_Olewniczak]

Trapez równoramienny opisany jest na okręgu o promieniu 1. Pole trapezu wynosi 5.
Oblicz pole czworokąta, którego wierzchołkami są punkty styczności okręgu z trapezem.

Udało mi się wyznaczyć wszystkie boki trapezu i wydawało mi się, że można to teraz ładnie policzyć wpisując ten trapez w układ współrzędnych. Jednak po trzeciej próbie obliczenia stwierdziłem, że jednak nie potrafię tego zrobić. Proszę o pomoc.

[loitzl9006]

Oznacz sobie kąt pomiędzy dłuższą podstawą trapezu a ramieniem trapezu jako \(\displaystyle{ \alpha}\), wtedy powinieneś dostać kąty wewnętrzne w zamalowanym deltoidzie: \(\displaystyle{ 90^\circ, \ 90^\circ, \ \alpha, \ 180^\circ - \alpha}\). Jak poprowadzisz sobie wysokość trapezu z wierzchołka krótszej podstawy, to z powstałego trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej będącej ramieniem trapezu odczytasz

\(\displaystyle{ \sin \alpha = 0.8}\)

A jak podzielisz deltoid na pół to będziesz miał dwa trójkąty prostokątne, o przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ 2}\) i przyprostokątnych długości \(\displaystyle{ 2\cdot \sin\left( \frac{\alpha}{2} \right)}\) i \(\displaystyle{ 2\cdot \cos\left( \frac{\alpha}{2} \right)}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha=0.8 \\ \\ 2\sin\left( \frac{\alpha}{2} \right)\cos\left( \frac{\alpha}{2} \right)=0.8 \\ \sin\left( \frac{\alpha}{2} \right)\cos\left( \frac{\alpha}{2} \right)=0.4 \\ \sin^2\left( \frac{\alpha}{2} \right)\cos^2\left( \frac{\alpha}{2} \right)=0.16 \\ \sin^2\left( \frac{\alpha}{2} \right)\left( 1-\sin^2\left( \frac{\alpha}{2} \right)\right) =0.16 \\ \sin^2\left( \frac{\alpha}{2} \right)=t; \ t \in \left\langle 0;1\right\rangle \\ t(1-t)=0.16 \\ -t^2+t-0.16=0 \\ t_1=0.2 \ \ \ \ \ \ t_2=0.8 \\ t_2 \ \ \mbox{odrzucasz} \\ t=0.2 \\ \sin^2\left( \frac{\alpha}{2} \right)=0.2 \\ ...}\)

[S_Olewniczak]

Oznacz sobie kąt pomiędzy dłuższą podstawą trapezu a ramieniem trapezu jako \(\displaystyle{ \alpha}\), wtedy powinieneś dostać kąty wewnętrzne w zamalowanym deltoidzie: \(\displaystyle{ 90^\circ, \ 90^\circ, \ \alpha, \ 180^\circ - \alpha}\).

Siedzę od godziny i jakoś nie mogę tego zobaczyć. Czy ktoś mógłby mi wyjaśnić dlaczego tak się dzieje?

[loitzl9006]

Te dwa po \(\displaystyle{ 90}\) stopni - to kąty wpisane oparte na półokręgu.

Teraz tak: wiesz, że suma miar kątów wewnętrznych przy tym samym ramieniu trapezu jest równa \(\displaystyle{ 180}\) stopni. Zatem kąt pomiędzy ramieniem trapezu a krótszą podstawą będzie \(\displaystyle{ 180^\circ-\alpha}\).
Dwa górne, białe trójkąty są równoramienne o długości ramienia równej połowie krótszej podstawy trapezu. Zatem pozostałe kąty w tych trójkątach są \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}}\).

Dośpiewasz sobie dalszą część ?