pole trójkąta zawartego w wiekszym trojkacie

[sigmacialo]

Pole trójkąta ABC jest równe 21. Punkt R lezy na odcinku AB tak, że
\(\displaystyle{ BR = \frac{1}{3} AR}\)
Punkt P lezy na odcinku BC tak, ze
\(\displaystyle{ CP = \frac{1}{3} BP}\)
Punkt q lezy na odcinku AC tak, ze
\(\displaystyle{ AQ = \frac{1}{3} CQ}\)

Oblicz pole trójkąta , którego boki są zawarte w prostych AP, BQ i CR.

Dodam tylko, ze zadanie to jest zawarte w dziale "Trygonometria" (1 kl liceum)

[porfirion]

Jeśli dane z zadania są wystarczające do jego rozwiązania,to można założyć, że trójkąt wyjściowy jest równoboczny i wtedy zadanie robi się dużo prostsze. Jeśli nie chcemy iść na taką straszną łatwiznę,to możemy analitycznie się trochę pomęczyć i widać, że jakoś pyknie... (założyć, że znamy współrzędne wierzchołków wyjściowego trójkąta i zupełnie olać to 21- przecież de facto interesuje nas tylko stosunek pól). Jak ktoś ma lepszy pomysł to niech się podzieli, bo też mnie męczy to zadanie (tj. jego eleganckie rozwiązanie)...

[yorgin]

Oznaczmy kolejne kąty przy wierzchołkach \(\displaystyle{ A, B, C}\) przez \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma}\)

Dalej, \(\displaystyle{ |AR|=3a, |RB|=a, |BP|=3b, |PC|=b, |CQ|=3c, |QA|=c}\)

Wtedy \(\displaystyle{ P_{ABC}=21=\frac{1}{2}16ac\sin\alpha=\frac{1}{2}16ab\sin\beta=\frac{1}{2}16bc\sin\gamma}\)

Oraz

\(\displaystyle{ P_{ARQ}=\frac{1}{2}3ac\sin\alpha=\ldots\\
\\
P_{BRP}=\frac{1}{2}3ab\sin\beta=\ldots\\
\\
P_{CQP}=\frac{1}{2}3bc\sin\gamma=\ldots}\)

Pole trójkąta \(\displaystyle{ PQR}\) to różnica pola dużego i pól małych trójkątów.

[piasek101]

...
Pole trójkąta \(\displaystyle{ PQR}\) to różnica pola dużego i pól małych trójkątów.

Ale to nie ten.

[yorgin]

Ale to nie ten.

Yyy 5pkt dla mnie za czytanie ze zrozumieniem

[Vax]

[kruszewski]

A może tak?
(Korzystając z tw.Talesa).

[piasek101]

I nie dostaniesz tego co trzeba.

[kruszewski]

I nie dostaniesz tego co trzeba.

Słusznie !
Ale zauważenie równości pól tych trójkątów, tak filując z boku, jest ciekawe.

[yorgin]

kruszewski, zrobiłem ten sam błąd, co Ty

Ponieważ to ma być zadanie z trygonometrii, mam pewien pomysł polegający na modyfikacji mojego poprzedniego rozwiązania. Postaram się później go przedstawić.

[kruszewski]

kruszewski, zrobiłem ten sam błąd, co Ty

Ponieważ to ma być zadanie z trygonometrii, mam pewien pomysł polegający na modyfikacji mojego poprzedniego rozwiązania. Postaram się później go przedstawić.

Sugestia to sugestia. Wielu nie omija.

[anna_]

5310102.png (18.37 KiB) Przejrzano 6519 razy

Oznaczenia jak na rysunku.
\(\displaystyle{ P_{ARF}=2P_{RBF}}\) (mają równa wysokości, podstawa pierwszego jest dwukrotnie dłuższa od podstawy drugiego)

\(\displaystyle{ P_{BPG}=2P_{PGC}}\) (mają równa wysokości, podstawa pierwszego jest dwukrotnie dłuższa od podstawy drugiego)

\(\displaystyle{ P_{CQE}=2P_{AQE}}\) (mają równa wysokości, podstawa pierwszego jest dwukrotnie dłuższa od podstawy drugiego)
=============================
\(\displaystyle{ P_{ARG}=2P_{RBG}}\)

\(\displaystyle{ a+2x+P=2(b+x)}\)

\(\displaystyle{ a+2x+P=2b+2x}\)

\(\displaystyle{ a+P=2b}\)
---------------------
\(\displaystyle{ P_{BEP}=2P_{PEC}}\)

\(\displaystyle{ b+2y+P=2(c+y)}\)

\(\displaystyle{ b+2y+P=2c+2y}\)

\(\displaystyle{ b+P=2c}\)
---------------------
\(\displaystyle{ P_{QFC}=2P_{AFQ}}\)

\(\displaystyle{ c+2z+P=2(a+z)}\)

\(\displaystyle{ c+2z+P=2a+2z}\)

\(\displaystyle{ c+P=2a}\)
---------------------
Dodajemy stronami:
\(\displaystyle{ a+P+b+P+c+P=2b+2c+2a}\)

\(\displaystyle{ P+P+P=2b+2c+2a-a-b-c}\)

\(\displaystyle{ 3P=a+b+c}\)
=============================
\(\displaystyle{ P_{ABQ}=P_{RBC}=P_{PAC}= \frac{1}{3}\cdot 21=7}\)

\(\displaystyle{ a+3x+z=7}\)

\(\displaystyle{ b+x+3y=7}\)

\(\displaystyle{ c+y+3z=7}\)
+_______________
\(\displaystyle{ a+b+c+4x+4y+4z=21}\)

\(\displaystyle{ a+b+c+4(x+y+z)=21}\)

\(\displaystyle{ a+b+c=21-4(x+y+z)}\)
=============================
\(\displaystyle{ P_{ABC}=a+b+c+3x+3y+3z+P=a+b+c+3(x+y+z)+P}\)

\(\displaystyle{ a+b+c+3(x+y+z)+P=21}\)

\(\displaystyle{ 21-4(x+y+z)+3(x+y+z)+P=21}\)

\(\displaystyle{ 21-(x+y+z)+P=21}\)

\(\displaystyle{ P=x+y+z}\)
=============================
Podstawiamy:
\(\displaystyle{ a+b+c+3(x+y+z)+P=21}\)

\(\displaystyle{ 3P+3P+P=21}\)

\(\displaystyle{ 7P=21}\)

\(\displaystyle{ P=3}\)