Pole trójkąta.

[Kvothe]

Pole trójkąta jest równe iloczynowi jego boków. Wykaż, że obwód tego trójkąta jest mniejszy od \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\)

Przyjąłem boki trójkąta jako \(\displaystyle{ a,b,c}\)

Podstawowe założenia:
\(\displaystyle{ a+b >c \\
a+c>b \\
b+c>a}\)

\(\displaystyle{ P = abc}\)

Próbowałem ze wzoru Herona:

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a+b+c}{2} \cdot \left( \frac{a+b+c}{2} -a \right) \cdot \left( \frac{a+b+c}{2} -b \right) \cdot \left( \frac{a+b+c}{2} -c \right) } =abc}\)

\(\displaystyle{ \left( a+b+c \right) \left( b+c-a \right) \left( a+c-b \right) \left( a+b-c \right) = 16a^2b^2c^2}\)

Po wymnożeniu i zredukowaniu wyrazów otrzymałem:

\(\displaystyle{ 2a^2b^2 +2b^2c^2 +2a^2c^2 - a^4 -b^4 -c^4 = 16a^2b^2c^a}\)

\(\displaystyle{ \left( a^2-b^2-c^2 \right) ^2 + 16a^2b^2c^2 =0}\)

Nie wiem co dalej i czy w ogóle trzeba to robić w ten sposób.

[wujomaro]

Ja bym coś kombinował w tę stronę:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} a b \sin \gamma = abc}\)
No i jakie wartości może mieć sinus.
Pozdrawiam!

[Vax]

Fajne Zauważ, że wystarczy pokazać, że:

\(\displaystyle{ (a+b+c)^3(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) < 36a^2b^2c^2}\)

Istotnie, wówczas:

\(\displaystyle{ 36a^2b^2c^2 > (a+b+c)^2 \cdot (a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) = (a+b+c)^2\cdot 16a^2b^2c^2 \iff (a+b+c)^2 < \frac{9}{4} \iff a+b+c < \frac{3}{2}}\)

Dokonując podstawienia Raviego, tj \(\displaystyle{ a=x+y \ , \ b = x+z \ , \ c = y+z \ \ x,y,z > 0}\) otrzymujemy do pokazania:

\(\displaystyle{ 64(x+y+z)^3xyz < 36(x+y)^2(x+z)^2(y+z)^2}\)

Pokażemy mocniejszą nierówność:

\(\displaystyle{ 27(x+y)^2(x+z)^2(y+z)^2 \ge 64(x+y+z)^3xyz}\).

Istotnie, jest to równoważne:

\(\displaystyle{ (\frac{x+y}{2})^2\cdot (\frac{x+z}{2})^2\cdot (\frac{y+z}{2})^2 \ge xyz(\frac{x+y+z}{3})^2}\)

Logarytmując stronami dostajemy równoważnie:

\(\displaystyle{ -2\ln \frac{x+y}{2} -2\ln\frac{x+z}{2}-2\ln\frac{y+z}{2} \le -\ln x-\ln y-\ln z-3\ln\frac{x+y+z}{3}}\)

Co wynika z nierówności Popoviciu dla \(\displaystyle{ f(x) = -\ln x}\)

[Kvothe]

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sin \gamma = c}\)

\(\displaystyle{ \sin \in \langle-1, 1\rangle}\), ale \(\displaystyle{ c}\) jest długością boku, więc:

\(\displaystyle{ 2c\in ( 0,1\rangle \rightarrow c\in \left( 0, \frac{1}{2} \right\rangle}\)

Tak jak każdy bok. Pozostał jeden problem. W przypadku, gdy wszystkie trzy boki będą równe \(\displaystyle{ \ \frac{1}{2}}\), obwód będzie równy\(\displaystyle{ \ \frac{3}{2}}\), a miałem wykazać że jest mniejszy. Z tego wynika, że \(\displaystyle{ a,b,c \in \left( 0,\frac{1}{2} \right)}\), dlaczego przedział otwarty?

[wujomaro]

Zauważ, że \(\displaystyle{ \sin x = 1}\) w trójkącie zachodzi tylko dla kąta prostego. W trójkącie może być tylko jeden kąt prosty.
Pozdrawiam!

[Kvothe]

Okay, wszystko jasne. Dzięki wielkie.

Vax: Będę musiał posiedzieć dłużej nad tym co napisałeś, dzieki.