Dwa rozłączne koła na płaszczyźnie
Dwa rozłączne koła na płaszczyźnie
Dane są dwa rozłączne koła na płaszczyźnie. Czy istnieje taki punkt A, nienależący do żadnego z tych kół, aby każda prosta przechodząca przez punkt A miała co najmniej jeden punkt wspólny z którymś z tych kół?
-
anna_
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Dwa rozłączne koła na płaszczyźnie
yorgin pisze:Istnieje. I to nieskończenie wiele takich punktów.
- Dwa rozłączne koła na płaszczyźnie.png (6.42 KiB) Przejrzano 517 razy
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Dwa rozłączne koła na płaszczyźnie
Wskazać nie mogę, gdyż nie dysponuję odpowiednimi programami graficznymi. Mogę za to opisać, jak takie punkty znaleźć.
Dla prostoty opisu zakładam, że koła znajdują się w górnej ćwiartce układu współrzędnych i są styczne do osi OX.
Prowadzę teraz dwie styczne do obu kół - jedna z nich będzie pokrywać się z osią OX. Druga natomiast będzie przechodzić przez lukę między kołami
Te dwie styczne wyznaczają trzy charakterystyczne punkty.
1. Punkt przecięcia się stycznych.
2+3. Jeśli założymy, że druga styczna "idzie od prawej góry w lewy dół", to na lewym kole powstają dwa punkty styczności - jeden naturalnie leży na osi OX, drugi wyznaczony jest przez drugą styczną. Te punkty są z reguły blisko siebie, jeśli koła są daleko (te odległości traktować należy względnie, nie precyzuję).
Te trzy punkty tworzą krzwoliniowy trójkąt - dwa boki to fragmenty stycznych, trzeci to łuk okręgu koła.
Wybieram dowolny punkt z wnętrza tego trójkąta. Z konstrukcji "widać", że prowadząc przez niego dowolną prostą, ta przetnie się zawsze z którymś kołem.
Rysunek zapewne pomoże, ja nie mam możliwości do jego zrobienia. Robiąc go rysuj dwa koła blisko siebie - trójkąt krzywoliniowy będzie wystarczająco duży.
Dla prostoty opisu zakładam, że koła znajdują się w górnej ćwiartce układu współrzędnych i są styczne do osi OX.
Prowadzę teraz dwie styczne do obu kół - jedna z nich będzie pokrywać się z osią OX. Druga natomiast będzie przechodzić przez lukę między kołami
Te dwie styczne wyznaczają trzy charakterystyczne punkty.
1. Punkt przecięcia się stycznych.
2+3. Jeśli założymy, że druga styczna "idzie od prawej góry w lewy dół", to na lewym kole powstają dwa punkty styczności - jeden naturalnie leży na osi OX, drugi wyznaczony jest przez drugą styczną. Te punkty są z reguły blisko siebie, jeśli koła są daleko (te odległości traktować należy względnie, nie precyzuję).
Te trzy punkty tworzą krzwoliniowy trójkąt - dwa boki to fragmenty stycznych, trzeci to łuk okręgu koła.
Wybieram dowolny punkt z wnętrza tego trójkąta. Z konstrukcji "widać", że prowadząc przez niego dowolną prostą, ta przetnie się zawsze z którymś kołem.
Rysunek zapewne pomoże, ja nie mam możliwości do jego zrobienia. Robiąc go rysuj dwa koła blisko siebie - trójkąt krzywoliniowy będzie wystarczająco duży.
