Witam:
W okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r}\) wpisano czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) taki, ze kąt między styczną poprowadzoną do okręgu w punkcie \(\displaystyle{ A}\) i bokiem \(\displaystyle{ AB}\) ma miarę \(\displaystyle{ 60}\).
Wyznacz pole czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\), jeśli \(\displaystyle{ \left| BC\right|=2\left|AC\right|}\) oraz \(\displaystyle{ \left| AD\right|=\left| DC\right|}\)
Rysunek:(wybaczcie, tylko paint mam tutaj pod ręką)
Mam następujący problem:
w chwili gdy założę, że \(\displaystyle{ BC}\) jest średnicą wszystko wychodzi jak po maśle, korzystam z tw. między styczną a cięciwą, mam kąty, liczę pole deltoidu itd.
Ale: jak udowodnic, ze to jest faktycznie średnica? mamy to dowodzic? Bo wiem, ze nie mogę sugerować się rysunkiem(na nim to wygląda jak średnica, ale to żaden dowód).
Więc: od czego wyjść w tym zadaniu, aby dojść do tego, że odcinek ten jest faktycznie średnicą okręgu? Jest jakiś sposób na proste zauważenie tego, który ja pomijam?
Dzięki za zainteresowanie
dodam jeszcze: w "kluczu" odpowiedzi jest:
Zauważenie, że kąt wynosi 90 stopni.
Czworokąt wpisany w okrąg
-
tometomek91
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Czworokąt wpisany w okrąg
Trzeba dowieść, że to średnica:
Niech \(\displaystyle{ O}\) środek boku \(\displaystyle{ BC}\). Wtedy \(\displaystyle{ AC=OC}\), a więc trójkąt \(\displaystyle{ AOC}\) jest równoramienny. Ponadto \(\displaystyle{ \angle ACO = 60}\), więc jest on równoboczny, czyli \(\displaystyle{ BO=CO=OA}\), zatem \(\displaystyle{ BC}\) to faktycznie średnica.
Niech \(\displaystyle{ O}\) środek boku \(\displaystyle{ BC}\). Wtedy \(\displaystyle{ AC=OC}\), a więc trójkąt \(\displaystyle{ AOC}\) jest równoramienny. Ponadto \(\displaystyle{ \angle ACO = 60}\), więc jest on równoboczny, czyli \(\displaystyle{ BO=CO=OA}\), zatem \(\displaystyle{ BC}\) to faktycznie średnica.
