Jaka jest największa liczba boków wielokąta foremnego?

so-fiz-mat · Post autor: **so-fiz-mat** » 22 lut 2013, o 21:52

Czy istnieje maksymalna liczba boków wielokąta foremnego?
Gdy dla \(\displaystyle{ n>2}\) i \(\displaystyle{ n \in N}\) zastosujemy i przekształcimy poniższą nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{n-2}{n} \cdot 180<180}\)

\(\displaystyle{ \frac{n-2}{n}<1}\)

\(\displaystyle{ n-2<n}\)

\(\displaystyle{ 0<2}\),
to otrzymamy wyrażenie zawsze prawdziwe.
Czy to oznacza, że wielokąt foremny może mieć dowolną liczbę boków?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 22 lut 2013, o 21:56

Każdy wielokąt foremny można wpisać w koło.

A czy kąt pełny można podzielić na dowolną liczbę równych kątów? Nie chodzi mi o konstrukcję za pomocą cyrkla i linijki, ale o teoretyczną możliwość.

so-fiz-mat · Post autor: **so-fiz-mat** » 22 lut 2013, o 22:00

Powrócę do pytania jak w temacie:

Jaka jest największa liczba boków wielokąta foremnego?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 22 lut 2013, o 22:01

Moje pytanie jest ściśle związane z Twoim. Zrób rysunek i się przekonaj. Ja nie rzucam słów na wiatr.

so-fiz-mat · Post autor: **so-fiz-mat** » 22 lut 2013, o 22:04

OK. Sprawdzę w Cabri lub w Geonext.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 22 lut 2013, o 22:04

Ojojojojojojoj... Zwykły, odręczny rysunek sobie zrób i zobacz o czym mówię. Dzisiejsza młodzież... tylko kalkulator i komputer. Bezgraniczna wiara.

so-fiz-mat · Post autor: **so-fiz-mat** » 22 lut 2013, o 22:06

Konstrukcja (cyrkiel i linijka), może tylko cyrkiel?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 22 lut 2013, o 22:11

Nie chodzi mi ko konstrukcję, bo wiadomo, że nie każdy kąt da się skonstruować. Chodzi o teoretyczną możłiwość. O to pytam. Jako o rzecz oczywistą, bo i odpowiedź na Twoje pytanie jest trywialna.

Koło to graniczny przypadek \(\displaystyle{ n}\)-kąta foremnego przy \(\displaystyle{ n\to\infty}\). Możesz w istocie zrobić rysunek na komputerze. Powiedzmy \(\displaystyle{ 100}\)-kąta foremnego. Jak on wygląda. Kanciasty? To \(\displaystyle{ 200}\)-kąta. Dalej kanciasty? \(\displaystyle{ 1000}\)-kąta. Jak wygląda?

Sytuacja zmienia się w przestrzeni, bo wielościan foremny jest maksymalnie dwudziestościanem. Dokładnie jest \(\displaystyle{ 5}\) wielościanów foremnych: czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan i dwudziestościan. To wynika ze wzoru Eulera: w wielościanie wypukłym mamy zależność: \(\displaystyle{ w-k+s=2}\), gdzie \(\displaystyle{ w}\) to liczba wierzchołków, \(\displaystyle{ k}\) krawędzi, a \(\displaystyle{ s}\) ścian.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 22 lut 2013, o 22:42

Wielokąt foremny może mieć dowolnie wiele boków - teoretycznie. W praktyce - czy potrafisz narysować miliardkąt foremny?

szw1710 pisze:
Sytuacja zmienia się w przestrzeni, bo wielościan foremny jest maksymalnie dwudziestościanem. Dokładnie jest \(\displaystyle{ 5}\) wielościanów foremnych: czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan i dwudziestościan. To wynika ze wzoru Eulera: w wielościanie wypukłym mamy zależność: \(\displaystyle{ w-k+s=2}\), gdzie \(\displaystyle{ w}\) to liczba wierzchołków, \(\displaystyle{ k}\) krawędzi, a \(\displaystyle{ s}\) ścian.

Czy aby na pewno wzór Eulera? A nie nieskomplikowane rozważania geometryczne dotyczące ilości wielokątów foremnych mogących zbiegać się w jednym wierzchołku wielościanu foremnego? Być może się mylę, nie słyszałem, by wzór Eulera wyrzucał nam istnienie tylko 5 wielościanów foremnych.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 22 lut 2013, o 22:56

yorgin, np.

Wielokąt foremny może mieć dowolnie wiele boków - teoretycznie. W praktyce - czy potrafisz narysować miliardkąt foremny?

Ten komentarz chyba nie do mnie.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 22 lut 2013, o 23:00

Dzięki za link, nie znałem tego dowodu, a jest taki prosty.

A komentarz był do so-fiz-mat.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 22 lut 2013, o 23:02

Bardziej poważnym źródłem są Wykłady z topologii Mioduszewskiego. Choć matematyka w Wikipedii nie stoi źle .

Majeskas · Post autor: **Majeskas** » 23 lut 2013, o 01:24

Ja słyszałem o jakimś dowodzie związanym z Algebrą.