Odcinki \(\displaystyle{ AK}\) i \(\displaystyle{ BL}\) są wysokościami trójkąta ostrokątnego \(\displaystyle{ ABC}\) , a punkt \(\displaystyle{ S}\) jest punktem ich przecięcia. Uzasadnij, że:
1. Na czworokącie \(\displaystyle{ ABKL}\) można opisać okrąg
2. Na czworokącie \(\displaystyle{ LSKC}\) można opisać okrąg
1. Wiem, że \(\displaystyle{ \measuredangle AKB}\) i \(\displaystyle{ \measuredangle BLA}\) są proste, więc \(\displaystyle{ AB}\) jest średnicą okręgu, ale nie rozumiem twierdzenia, że okrąg ten przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\)
2. Kompletnie nie wiem jak się za to zabrać. Kombinowałem z nazywaniem kątów, podstawianiem równań, ale do niczego konkretnego mnie to nie zaprowadziło.
Rysunek pomocniczy: [ciach]
Czworokąt wpisane w okrąg
Czworokąt wpisane w okrąg
Ostatnio zmieniony 24 lut 2013, o 12:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Regulamin III.6.7 Treści postów - w szczególności treści zadań oraz treści rozwiązań - nie mogą być zamieszczane na Forum w formie odnośnika prowadzącego poza Serwis Matematyka.pl, a zwłaszcza kierującego do stron konkurencyjnych.
Powód: Regulamin III.6.7 Treści postów - w szczególności treści zadań oraz treści rozwiązań - nie mogą być zamieszczane na Forum w formie odnośnika prowadzącego poza Serwis Matematyka.pl, a zwłaszcza kierującego do stron konkurencyjnych.
-
wujomaro
- Użytkownik
- Posty: 2154
- Rejestracja: 27 lis 2009, o 19:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 299 razy
Czworokąt wpisane w okrąg
Rysunek:
Aby na czworokącie dało się opisać okrąg, suma przeciwnległych kątów mówi być równa i wynosi \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\).
Więc:
1. Musimy pokazać, że:
\(\displaystyle{ \angle LKC = \angle BAL \\ \text{oraz} \\ \angle KBA = \angle KLC}\)
2. Musimy pokazać, że:
\(\displaystyle{ \angle LCK = \anlge ASL \\ \text{oraz} \\ \angle CKA = \angle CLB}\)
Pozdrawiam!
- czworokąt dowód2.png (12.99 KiB) Przejrzano 706 razy
Więc:
1. Musimy pokazać, że:
\(\displaystyle{ \angle LKC = \angle BAL \\ \text{oraz} \\ \angle KBA = \angle KLC}\)
2. Musimy pokazać, że:
\(\displaystyle{ \angle LCK = \anlge ASL \\ \text{oraz} \\ \angle CKA = \angle CLB}\)
Pozdrawiam!
Czworokąt wpisane w okrąg
Twoje założenia w ogóle nie zgadzają się z twierdzeniem o czworokącie wpisanym w okrąg, poza
\(\displaystyle{ \\ \angle CKA = \angle CLB}\)
Chyba, że chodzi Ci o podobieństwo trójkątów?
Zresztą same założenia to nic, mi chodzi o dalsze kroki w zadaniu podpunkt 2 i wytłumaczeniu odpowiedzi z 1.
\(\displaystyle{ \\ \angle CKA = \angle CLB}\)
Chyba, że chodzi Ci o podobieństwo trójkątów?
Zresztą same założenia to nic, mi chodzi o dalsze kroki w zadaniu podpunkt 2 i wytłumaczeniu odpowiedzi z 1.
-
kruszewski
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
-
anna_
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3247 razy
Czworokąt wpisane w okrąg
Podpowiedź do 1.: opisz okrąg na trójkącie \(\displaystyle{ ABK}\) lub \(\displaystyle{ ABL}\)
(środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w połowie przeciwprostokątnej)
\(\displaystyle{ |OA|=|OB|=|OK|=|OL|}\)
Czworokąt można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar kątów przeciwległych są równe i wynoszą \(\displaystyle{ 180^o}\)
Warunek jest spełniony.
(środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w połowie przeciwprostokątnej)
\(\displaystyle{ |OA|=|OB|=|OK|=|OL|}\)
Kąty przy wierzchołkach \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ K}\) są proste. Ich suma to \(\displaystyle{ 180^o}\), więc suma kątów leżacych przy wierzchołkach \(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ C}\) też musi być równa \(\displaystyle{ 180^o}\)rain228 pisze: 2. Na czworokącie \(\displaystyle{ LSKC}\) można opisać okrąg
Czworokąt można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar kątów przeciwległych są równe i wynoszą \(\displaystyle{ 180^o}\)
Warunek jest spełniony.