wykazanie że przeciwprostokątna ma daną długość

[unn4m3nd]

Dany jest trójkąt prostokątny o obwodzie 20. Promień okręgu wpisanego ma długość \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Wykaż, że długość przeciwprostokątnej jest równa \(\displaystyle{ \frac{19}{2}}\).

Zrobiłem oczywiście rysunek.

Teza:
\(\displaystyle{ z = \frac{19}{2}}\)

Dowód:
\(\displaystyle{ x+y+z=20}\)

I jest taki wzór: \(\displaystyle{ r = p-c}\) czyli:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} = 10 - c\\
c= \frac{19}{2}}\)
Czy to aby na pewno wystarczy?
W książce jest rozwiązanie ale zupełnie inne(dłuższe) którego nie za bardzo rozumiem.
Proszę o pomoc.
Pozdr!

[piasek101]

ok

[unn4m3nd]

Ale że co? Jest dobrze?
W książce jest to zrobione tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}ab=rp \Rightarrow ab=10\\
a^+b^2+2ab=c^2+2ab\\
(a+b)^2 = c^2+20\\
(20-c)^2 = c^2+20\\
c= \frac{19}{2}}\)

i tu już na początku nie wiem skąd taki wzór etc

[anna_]

Ale że co? Jest dobrze?
W książce jest to zrobione tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}ab=rp \Rightarrow ab=10\\
a^2+b^2+2ab=c^2+2ab\\
(a+b)^2 = c^2+20\\
(20-c)^2 = c^2+20\\
c= \frac{19}{2}}\)

i tu już na początku nie wiem skąd taki wzór etc

Pierwsza linijka - to porównanie pól trójkąta.
\(\displaystyle{ P= \frac{ab}{2}}\)
\(\displaystyle{ P=pr}\)
\(\displaystyle{ p}\) - połowa obwodu

druga linijka to twierdzenie Pitagorasa
\(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\) - do obu stron dodano \(\displaystyle{ 2ab}\)
\(\displaystyle{ a^2+b^2+2ab=c^2+2ab}\)
do lewej strony wzór skróconego mnożenia


A Twoje rozwiązanie jest dobre