dodawanie wektorów

tukanik · Post autor: **tukanik** » 14 lut 2013, o 13:41

Witam,
Czy niebieski wektor stanowi sumę wszystkich pozostałych wektorów?

: AU; RiOxYny.jpg (13.5 KiB) Przejrzano 142 razy

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 14 lut 2013, o 13:50

Tak, ten w kolorze ok. 0x0247fa (w centrum grota strzałki) jest sumą pozostałych wektorów.

tukanik · Post autor: **tukanik** » 14 lut 2013, o 13:56

Robię to zadanie:
Obliczyć odległość między środkami przekątnych trapezu o podstawach \(\displaystyle{ a,b,a>b}\).
Doszedłem od postaci:
\(\displaystyle{ \frac{\vec{AB}-\vec{DC}}{2}}\)
I widzę już fajną postać i domyślam się, że mogę przejść swobodnie do postaci:
\(\displaystyle{ \mbox{długość}_{\mbox{szukana}}=\frac{a-b}{2}}\)
Tylko chodzi o to, żeby być tego pewnym, że mogę tak zrobić. Bo szczerze mówiąc to nie jestem pewny. Tzn. dlaczego możemy sobie tak przejść?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 14 lut 2013, o 14:07

Rzeczywiście wektor o początku w środku odcinka \(\displaystyle{ AC}\) i końcu w środku odcinka \(\displaystyle{ BD}\), jest równy \(\displaystyle{ \frac{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}}{2}}\).

Żeby policzyć długość tego wektora, wystarczy wiedzieć, że wektory \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}}\) i \(\displaystyle{ \overrightarrow{DC}}\) mają ten sam kierunek i zwrot. W ogólności wynik to \(\displaystyle{ \frac{|a-b|}2}\), co przy założeniu \(\displaystyle{ a>b}\) daje uzyskany przez Ciebie wynik.

tukanik · Post autor: **tukanik** » 14 lut 2013, o 14:12

aha, czyli ponieważ mają ten sam kierunek i zwrot, to możemy ich różnicę sprowadzić tylko do różnicy długości?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 14 lut 2013, o 14:15

Tak. Gdyby były inaczej położone, to nie. Na przykład gdyby były prostopadłe, to wtedy stosujemy tw. Pitagorasa. Ogólnie jeśli znamy kąt pomiędzy wektorami, to możemy liczyć z tw. kosinusów.

tukanik · Post autor: **tukanik** » 14 lut 2013, o 14:41

a mógłbyś mi podać przykład takiego zabiegu?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 14 lut 2013, o 15:14

Nie mam do tego żadnych mądrych przykładów. Po prostu jeśli mamy dwa wektory \(\displaystyle{ \overrightarrow{w}}\) i \(\displaystyle{ \overrightarrow{v}}\) o długościach \(\displaystyle{ w}\) i \(\displaystyle{ v}\), oraz kąt pomiędzy tymi wektorami ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\), to długość wektora \(\displaystyle{ \overrightarrow{w}-\overrightarrow{v}}\) jest równa \(\displaystyle{ \sqrt{w^2+v^2-2wv\cos\alpha}.}\)

tukanik · Post autor: **tukanik** » 14 lut 2013, o 15:43

ok
a ma ktoś pomysł jak rozwiązać to zadanie bez wektorów?
Podaję treść jeszcze raz:
Obliczyć odległość między środkami przekątnych trapezu o podstawach\(\displaystyle{ a,b,a>b.}\)

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 14 lut 2013, o 15:50

Można jakichś trójkątów podobnych poszukać i z nich coś powyliczać.

tukanik · Post autor: **tukanik** » 14 lut 2013, o 16:46

no można, tylko najpierw trzeba udowodnić, że ten odcinek jest równoległy do podstaw.

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 14 lut 2013, o 17:23

Nie trzeba. Są różne cechy podobieństwa trójkątów. Nie tylko kkk.

tukanik · Post autor: **tukanik** » 14 lut 2013, o 19:10

to jak proponujesz pokazać podobieństwo?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 14 lut 2013, o 20:45

Najpierw masz dwa trójkąty o bokach zawartych w przekątnych trapezu i jego podstawach. Te trójkąty są podobne z cechy kkk (bo mają równoległe pary boków). Zatem odpowiednie boki są proporcjonalne.

Następnie masz trójkąt o podstawie łączącej środki przekątnych i o ramionach zawartych w przekątnych. Tu z cechy bkb masz podobieństwo do poprzednich dwóch trójkątów i możesz obliczyć długość podstawy.

Jest jeszcze takie rozwiązanie, które co prawda wykorzystuje wektory, ale w inny sposób. Mianowicie robimy przesunięcie całego obrazka o wektor \(\displaystyle{ \overrightarrow{DC}}\). Wówczas możemy policzyć długość odcinka łączącego środki ramion trójkąta \(\displaystyle{ AB'C}\) (a jeszcze wcześniej długość podstawy \(\displaystyle{ AB'}\)), skąd już nietrudno wyliczyć długość odcinka łączącego środki przekątnych.