wykazanie |AX| * |BX| = |CX| * |DX|

unn4m3nd · Post autor: **unn4m3nd** » 12 lut 2013, o 19:10

Cięciwy AB i CD okręgu przecinają się w punkcie X. Wykaż, że \(\displaystyle{ |AX| * |BX| = |CX| * |DX|}\)

Zauważyłem tylko tyle, że kąty
\(\displaystyle{ |AXC| = |BXC|}\)
bo są to kąty wierzchołkowe...

Co dalej? Proszę o pomoc.
Pozdr!

kristoffwp · Post autor: **kristoffwp** » 12 lut 2013, o 19:15

Trójkąty \(\displaystyle{ ACX}\) i \(\displaystyle{ BDX}\) są podobne ze względu na kąty. Spróbuj dojść, dlaczego. Zapisz sobie wynikające z tego proporcje.

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 12 lut 2013, o 19:15

Obierz punkty \(\displaystyle{ C' \ \text{i} \ B'}\)(w odpowiednich odlegościach od \(\displaystyle{ X}\)) na odcinkach \(\displaystyle{ XA \ \text{i} \ XD}\) Poprowadź dwie proste równoległe i zastosuj tw. Talesa.
Pozdrawiam!

unn4m3nd · Post autor: **unn4m3nd** » 12 lut 2013, o 19:32

@kristoffwp miary kątów oparte na tym samym łuku są równe czyli łuku |CXB|
zatem \(\displaystyle{ |XAC| = |BDX|}\)
zatem \(\displaystyle{ |ACX| = |XBD|}\)
czyli są to trójkąty podobne (cecha kąt-kąt-kąt).
\(\displaystyle{ \frac{|AX|}{|DX|} = \frac{|CX|}{\left| BX\right| }}\)

czyli \(\displaystyle{ |AX| * |BX| = |CX| * |DX|}\)
c.k.d

Dobrze?

kristoffwp · Post autor: **kristoffwp** » 12 lut 2013, o 19:40

Zgadza się.

unn4m3nd · Post autor: **unn4m3nd** » 12 lut 2013, o 20:13

Ok, wielkie dzięki.
Ale co innego rozwiązać to tutaj (z waszą pomocą) a co innego wpaść na to na maturze...
Bym sobie porozwiązywał więcej takich zadań tylko że nie mam skąd je wziąć...

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 12 lut 2013, o 20:16

Co konkretnie masz na myśli?
Jeśli mówisz o dowodzeniu w planimetrii to polecam zbiór zadań Pompego. Ale te zadania są bardziej do przygotowania do olimpiad.

Kod: Zaznacz cały

http://matma.ilo.pl/images/pompe.pdf

Pozdrawiam!

kristoffwp · Post autor: **kristoffwp** » 13 lut 2013, o 10:21

wujomaro pisze:Co konkretnie masz na myśli?
Jeśli mówisz o dowodzeniu w planimetrii to polecam zbiór zadań Pompego. Ale te zadania są bardziej do przygotowania do olimpiad.
Kod: Zaznacz cały
http://matma.ilo.pl/images/pompe.pdf
Pozdrawiam!

To na pewno nie do matury

Trzeba iść do księgarni i kupić sobie jakieś testy i robić....

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 13 lut 2013, o 10:45

Zajmij się tymi zadaniami (nawet są rozwiązania).