udowodnienie równoboczności trójkąta

[natalkaaaaa]

Dwa okręgi o równych promieniach przecinają się w punktach A i B w taki sposób, że jeden przechodzi przez środek drugiego. Przez punkt A poprowadzono sieczną tych okręgów, która przecięła okręgi w punktach C i D. Wykaż, że punkty B, C i D wyznaczają trójkąt równoboczny.

Mam rysunek, tylko żadnego pomysłu, jak to zrobić. Pomocy!

[tometomek91]

Niech środki tych okręgów to \(\displaystyle{ O_1}\) i \(\displaystyle{ O_2}\). Wtedy trójkąty \(\displaystyle{ AO_1O_2}\) i \(\displaystyle{ BO_1O_2}\) są równoboczne, zatem kąty \(\displaystyle{ AO_1B}\) i \(\displaystyle{ AO_2B}\) mają po \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\) więc kąty \(\displaystyle{ ACB}\) oraz \(\displaystyle{ ADB}\) mają po \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\), ckd.

[Dilectus]

Ładny dowód, Tomku. Dodałbym jeszcze dla porządku twierdzenie o tym, że w dowolnym okręgu kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Dlatego właśnie prawdą jest to, co powiedziałeś:

zatem kąty \(\displaystyle{ AO_1B}\) i \(\displaystyle{ AO_2B}\) mają po \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\) więc kąty \(\displaystyle{ ACB}\) oraz \(\displaystyle{ ADB}\) mają po \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\), ckd.

[kruszewski]

Bardziej ogolnie.
W.Kr.-- 10 lut 2013, o 22:49 --Tu więcej.

W.Kr.

[tometomek91]

Ładny dowód, Tomku. Dodałbym jeszcze dla porządku twierdzenie o tym, że w dowolnym okręgu kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

A dziękuję Tak, warto przytoczyć tutaj to twierdzenie.