wykazać nierówność w równoległoboku

[denatlu]

Niech \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) będą długościami boków równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\), zaś \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ r}\) długościami jego przekątnych. Wykaż, że \(\displaystyle{ a^2+b^2 \ge pr}\).

Z tw. cosinusów mam \(\displaystyle{ a^2+b^2= \frac{p^2+r^2}{2}}\) i nie wiem jak to dalej.

[TPB]

Wykorzystaj tożsamość
\(\displaystyle{ p^{2}+r^{2}=2(a^{2}+b^{2})}\).
Potem już z górki.

Dowód tej zależności wynika z tw. cosinusów.

-- 4 lut 2013, o 17:42 --

Brrr wybacz nie doczytałem całego postu.

\(\displaystyle{ \frac{p^{2}+r^{2}}{2} \ge pr \Leftrightarrow p^{2}+r^{2} \ge 2pr \Leftrightarrow p^{2}-2pr+r^{2} \ge 0 \Leftrightarrow (p-r)^{2} \ge 0}\)

Ostatnia nierówność jest oczywiście prawdziwa.

[denatlu]

Napisałem to równanie powyżej. Właśnie dla mnie zaczyna się pod górkę, jak możesz podaj coś konkretniejszego.

-- 4 lut 2013, o 17:45 --

\(\displaystyle{ \frac{p^{2}+r^{2}}{2} \ge pr \Leftrightarrow p^{2}+r^{2} \ge 2pr \Leftrightarrow p^{2}-2pr+r^{2} \ge 0 \Leftrightarrow (p-r)^{2} \ge 0}\)

Napisałem to samo i mi sorka skreśliła. Tak więc sam nie wiem...

[TPB]

Ale ja przecież dowodzę \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} \ge pr}\)-- 4 lut 2013, o 17:50 --Kto skreślił? Profesorka?

[denatlu]

tak, przy\(\displaystyle{ \frac{p^{2}+r^{2}}{2} \ge pr}\) dała znak zapytania podkreśliła o koniec.

Pokazywała mi, że trzeba coś takiego zrobić:

\(\displaystyle{ a^2+b^2= \frac{(p-r)^2+2pr}{2} =\frac{(p-r)^2}{2}+pr}\)

Dla \(\displaystyle{ p=r}\)
jest \(\displaystyle{ a^2+b^2=pr}\)-- 6 lut 2013, o 12:15 --to jak to może być?