Niech \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) będą długościami boków równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\), zaś \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ r}\) długościami jego przekątnych. Wykaż, że \(\displaystyle{ a^2+b^2 \ge pr}\).
Z tw. cosinusów mam \(\displaystyle{ a^2+b^2= \frac{p^2+r^2}{2}}\) i nie wiem jak to dalej.
wykazać nierówność w równoległoboku
-
- Użytkownik
- Posty: 500
- Rejestracja: 19 lip 2011, o 09:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zielona Góra
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 79 razy
wykazać nierówność w równoległoboku
Wykorzystaj tożsamość
\(\displaystyle{ p^{2}+r^{2}=2(a^{2}+b^{2})}\).
Potem już z górki.
Dowód tej zależności wynika z tw. cosinusów.
-- 4 lut 2013, o 17:42 --
Brrr wybacz nie doczytałem całego postu.
\(\displaystyle{ \frac{p^{2}+r^{2}}{2} \ge pr \Leftrightarrow p^{2}+r^{2} \ge 2pr \Leftrightarrow p^{2}-2pr+r^{2} \ge 0 \Leftrightarrow (p-r)^{2} \ge 0}\)
Ostatnia nierówność jest oczywiście prawdziwa.
\(\displaystyle{ p^{2}+r^{2}=2(a^{2}+b^{2})}\).
Potem już z górki.
Dowód tej zależności wynika z tw. cosinusów.
-- 4 lut 2013, o 17:42 --
Brrr wybacz nie doczytałem całego postu.
\(\displaystyle{ \frac{p^{2}+r^{2}}{2} \ge pr \Leftrightarrow p^{2}+r^{2} \ge 2pr \Leftrightarrow p^{2}-2pr+r^{2} \ge 0 \Leftrightarrow (p-r)^{2} \ge 0}\)
Ostatnia nierówność jest oczywiście prawdziwa.
- denatlu
- Użytkownik
- Posty: 524
- Rejestracja: 10 mar 2011, o 20:03
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 128 razy
- Pomógł: 14 razy
wykazać nierówność w równoległoboku
Napisałem to równanie powyżej. Właśnie dla mnie zaczyna się pod górkę, jak możesz podaj coś konkretniejszego.
-- 4 lut 2013, o 17:45 --
-- 4 lut 2013, o 17:45 --
Napisałem to samo i mi sorka skreśliła. Tak więc sam nie wiem...\(\displaystyle{ \frac{p^{2}+r^{2}}{2} \ge pr \Leftrightarrow p^{2}+r^{2} \ge 2pr \Leftrightarrow p^{2}-2pr+r^{2} \ge 0 \Leftrightarrow (p-r)^{2} \ge 0}\)
Ostatnio zmieniony 4 lut 2013, o 17:48 przez denatlu, łącznie zmieniany 1 raz.
- denatlu
- Użytkownik
- Posty: 524
- Rejestracja: 10 mar 2011, o 20:03
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 128 razy
- Pomógł: 14 razy
wykazać nierówność w równoległoboku
tak, przy\(\displaystyle{ \frac{p^{2}+r^{2}}{2} \ge pr}\) dała znak zapytania podkreśliła o koniec.
Pokazywała mi, że trzeba coś takiego zrobić:
\(\displaystyle{ a^2+b^2= \frac{(p-r)^2+2pr}{2} =\frac{(p-r)^2}{2}+pr}\)
Dla \(\displaystyle{ p=r}\)
jest \(\displaystyle{ a^2+b^2=pr}\)-- 6 lut 2013, o 12:15 --to jak to może być?
Pokazywała mi, że trzeba coś takiego zrobić:
\(\displaystyle{ a^2+b^2= \frac{(p-r)^2+2pr}{2} =\frac{(p-r)^2}{2}+pr}\)
Dla \(\displaystyle{ p=r}\)
jest \(\displaystyle{ a^2+b^2=pr}\)-- 6 lut 2013, o 12:15 --to jak to może być?