obwód trójkąta którego wierzchołkami są punkty styczności

[unn4m3nd]

Kąty trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) mają miary \(\displaystyle{ \alpha , \beta , \gamma}\). W trójkąt wpisano okrąg o promieniu r. Oblicz obwód trójkąta, którego wierzchołkami są punkty styczności.

Zrobiłem rysunek: (trochę amatorski, ale dopiero co się uczę tego programu)


\(\displaystyle{ |AF| = |AD| = \frac{r}{\tg \frac{ \alpha }{2} } \\
|BD| = |BE| = \frac{r}{\tg \frac{ \beta }{2} }\\
|CE| = |CF| = \frac{r}{\tg \frac{ \gamma }{2} }}\)

Ale jak obliczyć długości odcinków DE, DF i EF? bo ja jakoś tego nie widzę...
Proszę o pomoc.
Pozdrawiam

[piasek101]

Punkty styczności dwóch sąsiednich boków są jednakowo odległe od wierzchołka

[Gadziu]

tw. cosinusów

[unn4m3nd]

tak, wiem, tyle tylko że wychodzi mi takie brzydkie równanie, którego nie potrafię rozwiązać:
np.

\(\displaystyle{ |DE|^2 = 2*\left( \frac{r}{\tg \frac{ \beta }{2} }\right) ^2 - 2*\left( \frac{r}{\tg \frac{ \beta }{2} }\right) ^2 \cos \beta}\)

[Gadziu]

No może brzydkie, ale do rozwiązania

[unn4m3nd]

No może brzydkie, ale do rozwiązania

którego nie potrafię rozwiązać

[Gadziu]

To na prawdę nie jest takie trudne... Znasz wzór \(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}\). Pewnie znasz. Teraz przychodzi nam z pomocą wzór na \(\displaystyle{ \sin \frac{\alpha}{2}= \sqrt{ \frac{1-\cos \alpha}{2} }}\) i \(\displaystyle{ \cos \frac{\alpha}{2}= \sqrt{ \frac{1+\cos \alpha}{2} }}\). Dalej powinieneś sobie poradzić

[unn4m3nd]

pogubiłem się w ilości kresek ułamkowych i takich tam...

w odpowiedziach jest po prostu zapisane: \(\displaystyle{ |DE| = 2r \cos \frac{\beta}{2}}\) a mi w życiu coś takiego nie wyjdzie...

-- 3 lut 2013, o 14:47 --

może napiszę jak liczyłem, żeby nie było że nie próbowałem:

\(\displaystyle{ |DE|^2 = \frac{2r^2}{\tg^2 \frac{ \beta }{2} } - \frac{2r^2}{\tg^2 \frac{ \beta }{2} } \cos \beta \\}\)


\(\displaystyle{ |DE|^2 = \frac{2r^2}{ \frac{\sin^2 \frac{ \beta }{2} }{\cos^2 \frac{ \beta }{2} } } - \frac{2r^2}{ \frac{\sin^2 \frac{ \beta }{2} }{\cos^2 \frac{ \beta }{2} } }*\cos \beta}\)



\(\displaystyle{ |DE|^2 = \frac{2r^2(1-\cos \beta)}{ \frac{\sin^2 \frac{ \beta }{2} }{\cos^2 \frac{ \beta }{2} } }}\)

Dalej nie potrafię...

[Gadziu]

Na razie dobrze, przekształcaj dalej i wyjdzie to co w odpowiedzi

[unn4m3nd]

ok. doszedłem do: \(\displaystyle{ |DE|^2 = 2r^2(1+\cos \beta )}\) i wydaje mi się że jest błąd bo nie wychodzi z tego prawidłowa odpowiedź...

[anna_]

w odpowiedziach jest po prostu zapisane: \(\displaystyle{ |DE| = 2r \cos \frac{\beta}{2}}\) a mi w życiu coś takiego nie wyjdzie...

\(\displaystyle{ \angle DOE=180^o-\beta}\)
\(\displaystyle{ \angle DFE=90^o- \frac{\beta}{2}}\)

Z twierdzenia sinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ FED}\)

\(\displaystyle{ \frac{|DE|}{\sin \left( 90^o- \frac{\beta}{2}\right) }= 2r}\)
\(\displaystyle{ |DE|=2r \cos \frac{\beta}{2}}\)

[Gadziu]

No i jest dobrze, a teraz jeszcze pierwiastek wyciągnij i pokombinuj, żeby z \(\displaystyle{ \sqrt{2\left( 1+\cos \beta\right) }}\) zrobić \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1+\cos \beta}{2} }=\cos \frac{\beta}{2}}\)