W trójkąt prostokątny wpisano okrąg o promieniu 2. Jeden z kątów ostrych trójkąta ma miarę \(\displaystyle{ 2 \alpha}\). Wyznacz obwód trójkąta.
Tak, więc mamy:
O - środek trójkąta
\(\displaystyle{ |OD| = |OF| = |OE| = r\\
D \in |AC|, E \in |AB|, F \in |BC|\\
|<CAB| = 2 \alpha \\
|<ABC| = \alpha}\)
Co dalej zrobić? Chciałem to liczyć tworząc układ równań z trzema niewiadomymi, ale wtedy nie wyjdzie mi to samo co w odpowiedziach.
W podpowiedziach jest napisane: "wyznaczenie długości \(\displaystyle{ |AD|}\) i \(\displaystyle{ |BF|}\)"
Proszę o pomoc.
Pozdrawiam
Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny, a obwód trójkąta
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny, a obwód trójkąta
Nigdzie nie napisano, że jeden z kątów jest dwa razy większy od drugiego kąta.\(\displaystyle{ |<CAB| = 2 \alpha \\
|<ABC| = \alpha}\)
-- dzisiaj, o 23:32 --
Pitagoras + \(\displaystyle{ \tg\alpha}\)
- ben2109
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 1 lis 2012, o 18:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zabrze
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5 razy
Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny, a obwód trójkąta
Nie wiem czy dokładnie o to chodzi, ale jeśli o to, to kąty tego trójkąta
to odpowiednio \(\displaystyle{ 90-60-30}\). Punkt \(\displaystyle{ O}\) jest zawarty w dwusiecznych kątów \(\displaystyle{ \angle ABC, \angle BCA, \angle CAB}\). Mamy trójkąty ekierki \(\displaystyle{ AFO}\) i \(\displaystyle{ ADO}\), oraz trójkąty \(\displaystyle{ EBO}\) i \(\displaystyle{ BOD}\) o kątach \(\displaystyle{ 90-15-75}\). Boki trójkątów ekierek są w pewnym stosunku do
siebie przy odpowiednich kątach, a dla tych \(\displaystyle{ EBO}\) i \(\displaystyle{ BOD}\) korzystamy z funkcji trygonometrycznej.
to odpowiednio \(\displaystyle{ 90-60-30}\). Punkt \(\displaystyle{ O}\) jest zawarty w dwusiecznych kątów \(\displaystyle{ \angle ABC, \angle BCA, \angle CAB}\). Mamy trójkąty ekierki \(\displaystyle{ AFO}\) i \(\displaystyle{ ADO}\), oraz trójkąty \(\displaystyle{ EBO}\) i \(\displaystyle{ BOD}\) o kątach \(\displaystyle{ 90-15-75}\). Boki trójkątów ekierek są w pewnym stosunku do
siebie przy odpowiednich kątach, a dla tych \(\displaystyle{ EBO}\) i \(\displaystyle{ BOD}\) korzystamy z funkcji trygonometrycznej.
-
- Użytkownik
- Posty: 323
- Rejestracja: 26 wrz 2010, o 19:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Pomorze
- Podziękował: 118 razy
Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny, a obwód trójkąta
@anna_ dzięki! z twojego rysunku wszystko widać!
tak, więc
\(\displaystyle{ |AD| = |AE| = \frac{2}{\tg \alpha } \\
|BE| = |BF| = \frac{2}{\tg (45^o- \alpha )} \\}\)
Czyli obwód: \(\displaystyle{ L = 4 + \frac{2}{\tg \alpha }*2 + \frac{2}{\tg (45^o- \alpha )}*2}\)
Jeszcze raz dzięki i pozdrawiam!
PS. Do robienia tak dokładnych rysunków używasz jakiegoś programu?
tak, więc
\(\displaystyle{ |AD| = |AE| = \frac{2}{\tg \alpha } \\
|BE| = |BF| = \frac{2}{\tg (45^o- \alpha )} \\}\)
Czyli obwód: \(\displaystyle{ L = 4 + \frac{2}{\tg \alpha }*2 + \frac{2}{\tg (45^o- \alpha )}*2}\)
Jeszcze raz dzięki i pozdrawiam!
PS. Do robienia tak dokładnych rysunków używasz jakiegoś programu?
- AloneAngel
- Użytkownik
- Posty: 630
- Rejestracja: 19 mar 2012, o 17:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 176 razy
Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny, a obwód trójkąta
Użytkownik anna_ wykonuje rysunki w GeoGebrze.
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny, a obwód trójkąta
Myślałam o policzeniu boku \(\displaystyle{ b}\) z Pitagorasa:
\(\displaystyle{ a^2+b^2=(a-2+b-2)^2 \Rightarrow b= \frac{4(a-2)}{a-4}}\)
Bok \(\displaystyle{ c=a-2+b-2=a+b-4}\)
A program to rzeczywiście GeoGebra.
Jest bezpłatny i po polsku.
Co można w nim zrobić możesz sprawdzić tutaj:
i tutaj:
Tutaj możesz go przetestować:
http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html
Stąd pobrać:
http://www.geogebra.org/cms/en/download
lub
http://www.geogebra.org/cms/en/installers
A tutaj są wskazówki:
http://sites.google.com/site/geogebras/home
Po wykonaniu rysunku można go zapisać jako np .png i i wrzucić na topik.
\(\displaystyle{ a^2+b^2=(a-2+b-2)^2 \Rightarrow b= \frac{4(a-2)}{a-4}}\)
Bok \(\displaystyle{ c=a-2+b-2=a+b-4}\)
A program to rzeczywiście GeoGebra.
Jest bezpłatny i po polsku.
Co można w nim zrobić możesz sprawdzić tutaj:
i tutaj:
Tutaj możesz go przetestować:
http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html
Stąd pobrać:
http://www.geogebra.org/cms/en/download
lub
http://www.geogebra.org/cms/en/installers
A tutaj są wskazówki:
http://sites.google.com/site/geogebras/home
Po wykonaniu rysunku można go zapisać jako np .png i i wrzucić na topik.