Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny, a obwód trójkąta

[unn4m3nd]

W trójkąt prostokątny wpisano okrąg o promieniu 2. Jeden z kątów ostrych trójkąta ma miarę \(\displaystyle{ 2 \alpha}\). Wyznacz obwód trójkąta.

Tak, więc mamy:
O - środek trójkąta

\(\displaystyle{ |OD| = |OF| = |OE| = r\\
D \in |AC|, E \in |AB|, F \in |BC|\\
|<CAB| = 2 \alpha \\
|<ABC| = \alpha}\)

Co dalej zrobić? Chciałem to liczyć tworząc układ równań z trzema niewiadomymi, ale wtedy nie wyjdzie mi to samo co w odpowiedziach.

W podpowiedziach jest napisane: "wyznaczenie długości \(\displaystyle{ |AD|}\) i \(\displaystyle{ |BF|}\)"
Proszę o pomoc.
Pozdrawiam

[anna_]

\(\displaystyle{ |<CAB| = 2 \alpha \\
|<ABC| = \alpha}\)

Nigdzie nie napisano, że jeden z kątów jest dwa razy większy od drugiego kąta.

-- dzisiaj, o 23:32 --

Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny, a obwód trójkąta.png (8.98 KiB) Przejrzano 4498 razy

Pitagoras + \(\displaystyle{ \tg\alpha}\)

[ben2109]

Nie wiem czy dokładnie o to chodzi, ale jeśli o to, to kąty tego trójkąta
to odpowiednio \(\displaystyle{ 90-60-30}\). Punkt \(\displaystyle{ O}\) jest zawarty w dwusiecznych kątów \(\displaystyle{ \angle ABC, \angle BCA, \angle CAB}\). Mamy trójkąty ekierki \(\displaystyle{ AFO}\) i \(\displaystyle{ ADO}\), oraz trójkąty \(\displaystyle{ EBO}\) i \(\displaystyle{ BOD}\) o kątach \(\displaystyle{ 90-15-75}\). Boki trójkątów ekierek są w pewnym stosunku do
siebie przy odpowiednich kątach, a dla tych \(\displaystyle{ EBO}\) i \(\displaystyle{ BOD}\) korzystamy z funkcji trygonometrycznej.

[unn4m3nd]

@anna_ dzięki! z twojego rysunku wszystko widać!

tak, więc
\(\displaystyle{ |AD| = |AE| = \frac{2}{\tg \alpha } \\
|BE| = |BF| = \frac{2}{\tg (45^o- \alpha )} \\}\)

Czyli obwód: \(\displaystyle{ L = 4 + \frac{2}{\tg \alpha }*2 + \frac{2}{\tg (45^o- \alpha )}*2}\)

Jeszcze raz dzięki i pozdrawiam!

PS. Do robienia tak dokładnych rysunków używasz jakiegoś programu?

[AloneAngel]

Użytkownik anna_ wykonuje rysunki w GeoGebrze.

[anna_]

Myślałam o policzeniu boku \(\displaystyle{ b}\) z Pitagorasa:
\(\displaystyle{ a^2+b^2=(a-2+b-2)^2 \Rightarrow b= \frac{4(a-2)}{a-4}}\)

Bok \(\displaystyle{ c=a-2+b-2=a+b-4}\)

A program to rzeczywiście GeoGebra.
Jest bezpłatny i po polsku.

Co można w nim zrobić możesz sprawdzić tutaj:

i tutaj:


Tutaj możesz go przetestować:
http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html

Stąd pobrać:
http://www.geogebra.org/cms/en/download
lub
http://www.geogebra.org/cms/en/installers

A tutaj są wskazówki:
http://sites.google.com/site/geogebras/home

Po wykonaniu rysunku można go zapisać jako np .png i i wrzucić na topik.