Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie

[unn4m3nd]

Dany jest trójkąt równoramienny o kącie między ramionami \(\displaystyle{ 2 \alpha}\) . Pole trójkąta jest równe \(\displaystyle{ P}\). Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

\(\displaystyle{ |AC| = |BC| = a\\
|AB| = c\\
\\
2R = \frac{c}{\sin 2 \alpha } \\
P= \frac{1}{2} a^2 \sin 2 \alpha \\
\\
a = \sqrt{ \frac{2P}{\sin 2 \alpha } }\\
\\
c^2 = \frac{2P}{\sin 2 \alpha } + \frac{2P}{\sin 2 \alpha } - 2*\frac{2P}{\sin 2 \alpha } \cos 2 \alpha}\)

W tym momencie się zaciąłem. Jak wyznaczyć dokładnie to \(\displaystyle{ c}\)?
Proszę o pomoc.
Pozdrawiam!

[anna_]

\(\displaystyle{ \sin \alpha= \frac{ \frac{c}{2} }{a}}\)

Nie prościej było liczyć ten promień ze wzoru
\(\displaystyle{ R=\frac{abc}{4 P_{trojkata}}}\)?

[unn4m3nd]

wyjdzie: \(\displaystyle{ c = 2\sin \alpha \sqrt{ \frac{2P}{\sin 2 \alpha } }}\)

a w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ c = 2 \sqrt{P \tg \alpha }}\)

PS. nie znam tego wzoru

PSS. R powinno wyjść \(\displaystyle{ R = \frac{\sqrt{P \tg \alpha }}{\sin 2 \alpha }}\) (tak jest w odpowiedziach)

[anna_]

Wciągnij \(\displaystyle{ \sin\alpha}\) pod pierwiastek i podstaw \(\displaystyle{ \sin 2 \alpha=2\sin \alpha \cos \alpha}\). Coś się skróci i wyjdzie co trzeba.