Równe łuki

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
amadeuszi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 29 lip 2012, o 13:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice/Czeladź
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 2 razy

Równe łuki

Post autor: amadeuszi »

Na okręgu zaznaczono równe łuki \(\displaystyle{ AB, BC}\) i \(\displaystyle{ CD}\). Cięciwy \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\)
przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\), przy czym \(\displaystyle{ |AP| < |BP|}\) oraz \(\displaystyle{ |DP| < |CP|}\).
Kąt \(\displaystyle{ APD}\) ma miarę \(\displaystyle{ 40^{\circ}}\). Zatem:
a) kąt \(\displaystyle{ CAB}\) może mieć miarę \(\displaystyle{ 50^{\circ}}\).?
b) trójkąty \(\displaystyle{ BCD}\) oraz \(\displaystyle{ ABC}\) są trójkątami równoramiennymi?
c) kąt \(\displaystyle{ CAB}\) może mieć miarę mniejszą niż \(\displaystyle{ 20^{\circ}}\)?
Awatar użytkownika
bb314
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 871
Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Namysłów
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 321 razy

Równe łuki

Post autor: bb314 »

amadeuszi pisze:Na okręgu zaznaczono równe łuki \(\displaystyle{ AB, BC}\) i \(\displaystyle{ CD}\). Cięciwy \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\)
przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\), przy czym \(\displaystyle{ |AP| < |BP|}\) oraz \(\displaystyle{ |DP| < |CP|}\).
Kąt \(\displaystyle{ APD}\) ma miarę \(\displaystyle{ 40^{\circ}}\)
To jest awykonalne.

Jeśli utrzymać pozostałe warunki, to musi być \(\displaystyle{ \sphericalangle APD>60^o\ \ \ \wedge\ \ \ \sphericalangle APD<180^o}\)
Awatar użytkownika
ben2109
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 1 lis 2012, o 18:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zabrze
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5 razy

Równe łuki

Post autor: ben2109 »

Chodzi o przedłużenie cięciw? ;D
Awatar użytkownika
bb314
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 871
Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Namysłów
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 321 razy

Równe łuki

Post autor: bb314 »

Matematyka to nauka ścisła. Cięciwa to odcinek wewnątrz okręgu, więc nie może przecinać się z czymkolwiek na zewnątrz okręgu.
Ale jeśli przyjąć, że chodziło o sieczne, to:

\(\displaystyle{ \Delta ABC}\) i \(\displaystyle{ BCD}\) są równoramienne, ich ramionami są równej długości cięciwy

\(\displaystyle{ \Delta EBP}\) jest prostokątny, więc \(\displaystyle{ \blue \sphericalangle EBP=90^o-\frac12\alpha}\)

w \(\displaystyle{ \Delta ACB\ \ \ \ AB=BC\ \ \green \Rightarrow \black\ \ \sphericalangle BCA=\sphericalangle BAC=\beta}\)

\(\displaystyle{ \beta+\beta+\sphericalangle ABC=180^o\ \ \green \Rightarrow \black\ \ 2\beta+\sphericalangle EBP=180^o\ \ \green \Rightarrow}\)

\(\displaystyle{ \ \ \green \Rightarrow \black\ \ 2\beta=180^o-\left(90^o-\frac12\alpha \right)\ \ \green \Rightarrow \red\ \ \beta=45^o+\frac14\alpha}\)
ODPOWIEDZ