Na okręgu zaznaczono równe łuki \(\displaystyle{ AB, BC}\) i \(\displaystyle{ CD}\). Cięciwy \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\)
przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\), przy czym \(\displaystyle{ |AP| < |BP|}\) oraz \(\displaystyle{ |DP| < |CP|}\).
Kąt \(\displaystyle{ APD}\) ma miarę \(\displaystyle{ 40^{\circ}}\). Zatem:
a) kąt \(\displaystyle{ CAB}\) może mieć miarę \(\displaystyle{ 50^{\circ}}\).?
b) trójkąty \(\displaystyle{ BCD}\) oraz \(\displaystyle{ ABC}\) są trójkątami równoramiennymi?
c) kąt \(\displaystyle{ CAB}\) może mieć miarę mniejszą niż \(\displaystyle{ 20^{\circ}}\)?
Równe łuki
- bb314
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Namysłów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 321 razy
Równe łuki
To jest awykonalne.amadeuszi pisze:Na okręgu zaznaczono równe łuki \(\displaystyle{ AB, BC}\) i \(\displaystyle{ CD}\). Cięciwy \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\)
przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\), przy czym \(\displaystyle{ |AP| < |BP|}\) oraz \(\displaystyle{ |DP| < |CP|}\).
Kąt \(\displaystyle{ APD}\) ma miarę \(\displaystyle{ 40^{\circ}}\)
Jeśli utrzymać pozostałe warunki, to musi być \(\displaystyle{ \sphericalangle APD>60^o\ \ \ \wedge\ \ \ \sphericalangle APD<180^o}\)
- bb314
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Namysłów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 321 razy
Równe łuki
Matematyka to nauka ścisła. Cięciwa to odcinek wewnątrz okręgu, więc nie może przecinać się z czymkolwiek na zewnątrz okręgu.
Ale jeśli przyjąć, że chodziło o sieczne, to:
\(\displaystyle{ \Delta ABC}\) i \(\displaystyle{ BCD}\) są równoramienne, ich ramionami są równej długości cięciwy
\(\displaystyle{ \Delta EBP}\) jest prostokątny, więc \(\displaystyle{ \blue \sphericalangle EBP=90^o-\frac12\alpha}\)
w \(\displaystyle{ \Delta ACB\ \ \ \ AB=BC\ \ \green \Rightarrow \black\ \ \sphericalangle BCA=\sphericalangle BAC=\beta}\)
\(\displaystyle{ \beta+\beta+\sphericalangle ABC=180^o\ \ \green \Rightarrow \black\ \ 2\beta+\sphericalangle EBP=180^o\ \ \green \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \ \ \green \Rightarrow \black\ \ 2\beta=180^o-\left(90^o-\frac12\alpha \right)\ \ \green \Rightarrow \red\ \ \beta=45^o+\frac14\alpha}\)
Ale jeśli przyjąć, że chodziło o sieczne, to:
\(\displaystyle{ \Delta ABC}\) i \(\displaystyle{ BCD}\) są równoramienne, ich ramionami są równej długości cięciwy
\(\displaystyle{ \Delta EBP}\) jest prostokątny, więc \(\displaystyle{ \blue \sphericalangle EBP=90^o-\frac12\alpha}\)
w \(\displaystyle{ \Delta ACB\ \ \ \ AB=BC\ \ \green \Rightarrow \black\ \ \sphericalangle BCA=\sphericalangle BAC=\beta}\)
\(\displaystyle{ \beta+\beta+\sphericalangle ABC=180^o\ \ \green \Rightarrow \black\ \ 2\beta+\sphericalangle EBP=180^o\ \ \green \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \ \ \green \Rightarrow \black\ \ 2\beta=180^o-\left(90^o-\frac12\alpha \right)\ \ \green \Rightarrow \red\ \ \beta=45^o+\frac14\alpha}\)