czworokąt wpisany w okrąg, miary kątów

[unn4m3nd]

W czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisanym w okrąg dane są: \(\displaystyle{ |AD|=2}\), \(\displaystyle{ |BC|=10}\), \(\displaystyle{ |CD|=8}\), \(\displaystyle{ |AB|=4}\). Wyznacz miarę kąta między najkrótszymi bokami.

Jak zacząć? Zrobiłem rysunek, wiem że jeśli czworokąt jest wpisany w okrąg to
\(\displaystyle{ |DAB| = \alpha\\
|DCB| = 180^o - \alpha}\)

Skorzystałbym tutaj z twierdzenia cosinusów, tyle tylko że nie znam długości przekątnej. Jak się do tego zabrać?

Proszę o pomoc.
Pozdr

[wujomaro]

Oznaczamy sobie \(\displaystyle{ DB}\) jako przekątną.
\(\displaystyle{ |DB|^{2}=2^{2}+4^{2}- 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos \alpha = 8^{2}+10^{2}- 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \cos (180^{\circ}- \alpha)}\)
Pozdrawiam!

[unn4m3nd]

no i mam:
\(\displaystyle{ |DB|^2=20-16\cos \alpha = 164-160\cos (180^{\circ} - \alpha )}\)
co z tym zrobić? bo nie za bardzo wiem

[wujomaro]

\(\displaystyle{ \cos (180^{\circ}- \alpha)= - \cos \alpha}\)
Pozdrawiam!

[unn4m3nd]

Dzięki wielkie za pomoc!
Pozdrawiam

[dominik49]

Skąd wiadomo że \(\displaystyle{ cos(180- \alpha )=-cos \alpha}\) czyli ze \(\displaystyle{ (180- \alpha )}\) jest w drugiej ćwiartce skoro nie jest powiedziane ze \(\displaystyle{ \alpha}\) jest katem ostrym

[wujomaro]

Autor założył sobie, że oznaczy kąt ostry jako \(\displaystyle{ \alpha}\). Ale co to właściwie za różnica? Dwa minusy dają plus, \(\displaystyle{ \cos\left( 180^{\circ}- \alpha \right)= - \cos \alpha}\) jest wzorem działającym zawsze.
Pozdrawiam!