trapez trygonometria wysokość

[Funkyart]

dany jest trapez rownoramienny \(\displaystyle{ ABCD}\) o podstawach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\). przekatne trapezu przecinaja sie pod katem ostrym i dziela sie w stosunku \(\displaystyle{ 1:2}\). obwod trapezu jest rowny \(\displaystyle{ 9\sqrt2+6\sqrt5}\). oblicz pole tego trapezu. Jak obliczyć wysokość?

[anna_]

Pod kątem ostrym?
Nie powinno być czasem prostym?

[loitzl9006]

Jeżeli jednak treść jest poprawna, to zauważmy że stworzą się dwa trójkąty równoramienne podobne, o skali podobieństwa \(\displaystyle{ 2}\) , mam nadzieję że wiesz dlaczego taka skala; oznacz sobie jakoś kąty na rysunku, np. kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego jest \(\displaystyle{ \alpha}\), wtedy kąt wierzchołkowy w tym trójkącie jest \(\displaystyle{ 180^\circ-2\alpha}\). Napisz twierdzenie cosinusów dla jednego z trójkątów równoramiennych, a potem twierdzenie cosinusów dla jednego z bocznych trójkątów. Z tego wszystkiego przydało by się wydobyć zależność pomiędzy podstawą trapezu a ramieniem trapezu.
Jak już to będziesz mieć, to trzeba będzie pobawić się Pitagorasem - narysować wysokości trapezu z obu wierzchołków krótszej podstawy, i poprzez twierdzenie Pitagorasa uzależnić długość przekątnej od długości podstaw trapezu.

Wg mnie pole trapezu to \(\displaystyle{ 27 \sqrt{\frac52}}\)

[anna_]

Tyle, że jeżeli tam ma być kąt ostry, to który?
Lewy/prawy czy górny/dolny?

[loitzl9006]

Nie wiem właśnie, ja jakoś tam nad tym się nie zastanawiałem, napisałem twierdzenia cosinusów, uzyskałem zależność pomiędzy ramieniem trapezu, krótszą podstawą trapezu a przekątną trapezu:

\(\displaystyle{ b^2=a^2+3x^2}\)

gdzie \(\displaystyle{ a}\) - podstawa, \(\displaystyle{ b}\) - ramię trapezu, \(\displaystyle{ x}\)- krótsza część przekątnej (po podzieleniu); w sensie że wg moich oznaczeń \(\displaystyle{ 3x}\) to cała przekątna trapezu.
Kąty jakoś mi się skróciły...

[anna_]

Znalazłam odpowiedź w necie (kąt jest jednak ostry)
\(\displaystyle{ P= \frac{81}{2}}\)

[loitzl9006]

Ha, kąty mi się skróciły bo zrobiłem błąd we wzorach redukcyjnych.... stąd moja zła odpowiedź.