Okręgi styczne zewnętrznie

[Subzero88]

Do okręgów \(\displaystyle{ O_{1}}\) i \(\displaystyle{ O_{2}}\) stycznych zewnętrznie w punkcie A poprowadzono wspólną styczną zewnętrzną BC (B,C - punkty styczności). Udowodnij że kąt BAC jest kątem prostym.

[justi03]

czworokąt ABO1O2. kąty przy wierchołku A i B mają po 90stopni. Kąt \(\displaystyle{ O_{1}=\alpha}\) a \(\displaystyle{ O_{2}=\beta}\). \(\displaystyle{ \alpha+\beta=180^0}\) więc\(\displaystyle{ \alpha=180^0-\beta}\). Trójkąty O1BA i O2AC równoramienne (promienie). Więc \(\displaystyle{ \alpha=180^0-2\gamma}\) a \(\displaystyle{ \beta=180^0-2\delta}\). Oblicz \(\displaystyle{ \gamma}\) i \(\displaystyle{ \delta}\) i później podłóż do równania \(\displaystyle{ katBAC=180^0-\gamma-\delta=90^0}\).