Mnożenie wektorowe 2 wektorów - kilka pytań

[marek252]

Witam.
Mam kilka pytań odnośnie mnożenie wektorowego 2 wektorów i kilka innych.
1. Czy wektor może mieć 2 współrzędne [x,y] (czy zawsze 3?), np. taki w układzie współrzędnych?
2. Czy taki wektor w układzie współrzędnych ma 3 współrzędne, tzn. [x,y,0], można tak powiedzieć?
3. Czy to mnożenie rozpatrujemy zawsze w 3 wymiarach? Skoro powstały wektor ma być prostopadły do tych dwóch początkowych to chyba tak.
4. Skoro tak, to czy można pomnożyć tak wektory w układzie współrzędnych? Szukałem informacji na temat tego mnożenia i znalazłem tylko taki przy mnożeniu wektorów o 3 współrzędnych. Czy da się pomnożyć wektory o 2 współrzędnych? Gdzieś mam taki zapis, czy jest poprawny?
\(\displaystyle{ \vec{v} =[a,b]}\)
\(\displaystyle{ \vec{u} =[c,d]}\)
\(\displaystyle{ \vec{v} \times \vec{u} =a \cdot c + b \cdot d}\)
Czego dotyczy powyższy oraz poniższy zapis, kiedy go stosować?
\(\displaystyle{ \vec{v} \times \vec{u} =|v| \cdot |u| \cdot \cos \alpha}\)
Pozdrawiam

[chris_f]

1. Nie może mieć tylko dwóch współrzędnych.
2. Tak, ale wynik mnożenia już nie będzie takiej postaci.
3. Tak.
4. To co zapisałeś jest to iloczyn skalarny dwóch wektorów, definiuje się go właśnie w taki sposób
\(\displaystyle{ \vec u\circ\vec v=|\vec u|\cdot|\vec v|\cos\angle(\vec u,\vec v)}\)
Jeżeli dane są współrzędne dwóch wektorów
\(\displaystyle{ \vec u=[u_1,u_2,u_3,...,u_n],\ \vec v=[v_1,v_2,v_3,...,v_n]}\)
to iloczyn skalarny oblicza się
\(\displaystyle{ \vec u\circ\vec v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3+...+u_nv_n}\)
co w przypadku przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) daje wzór który zapisałeś.

[marek252]

Mam jeszcze kilka pytań:
1. Mnożenie skalarne a wektorowe wektorów to dwie różne rzeczy?
2. Oba wzory mogę stosować zamiennie, wyjdzie mi to samo?
\(\displaystyle{ \vec u\circ\vec v=|\vec u|\cdot|\vec v|\cos\angle(\vec u,\vec v)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \vec u\circ\vec v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3+...+u_nv_n}\)
3. Jak mam rozumieć taki zapis:
\(\displaystyle{ \vec u=[u_1,u_2,u_3,...,u_n],\ \vec v=[v_1,v_2,v_3,...,v_n]}\)
Taki wektor ma więcej niż 3 współrzędne? Jest to możliwe? Można coś takiego przedstawić w jakimś układzie, graficznie? Jestem w 3 LO, więc możliwe, że pewne rzeczy dopiero przede mną.

[chris_f]

1. Tak, to zupełnie dwie różne rzeczy. Wynikiem mnożenia wektorowego dwóch wektorów jest wektor, a wynikiem mnożenia skalarnego liczba. Zazwyczaj iloczyn wektorowy jest używany tylko w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\), są uogólnienia na przestrzenie o większej liczbie wymiarów, ale to takie udziwnienia i ciekawostki. Żeby to dokładnie zrozumieć, musiałbyś przebrnąć przez podstawy algebry liniowej (zresztą nietrudne) i dowiedzieć się co to jest grupa, ciało, działanie itp.
Żeby Cię bardziej zmartwić istnieją jeszcze inne działania (dziwne) na wektorach, np. iloczyn mieszany, dwuwektorowy itp.

2. Tak, i właśnie równoważność tych dwóch wzorów wykorzystuje się często w różnych sytuacjach, np. gdy trzeba wyznaczyć cosinus kąta między wektorami, sprawdzenia czy są prostopadłe itd.
Raz jeden, raz drugi wzór jest używany jako definicja, a wtedy można różne własności wykorzystywać.


3. To jest ogólny zapis wektora (punktu) w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\), czyli \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowej. Dla \(\displaystyle{ n=2}\) przykładem (modelem) jest płaszczyzna, dla \(\displaystyle{ n=3}\) przestrzeń, \(\displaystyle{ n=1}\) - prosta, dla \(\displaystyle{ n=5}\) przestrzeń pięciowymiarowa itd.
Oczywiście przestrzeni o liczbie wymiarów większej niż 3 nie da się narysować, przedstawić itd., ale nic nie stoi na przeszkodzie, żeby takie przestrzenie i ich własności badać.
Tak naprawdę w geometrii analitycznej (która jest działem tzw. algebry liniowej), to płaszczyzna i przestrzeń (w naszym rozumieniu) to tylko szczególne przypadki teorii z algebry liniowej.
Z kolei w innych działach matematyki, bardziej interesujące są przestrzenie nieskończenie wymiarowe, tam dopiero robi się ciekawie.

W III LO przydatne są te wszystkie własności, które dotyczą przestrzeni dwu- i trójwymiarowych (czyli spostrzeganego przez nas wszechświata).
Wszystkie te własności w nieprawdopodobny sposób przydają się na fizyce, kiedyś była tu dyskusja na temat fizyki i matematyki w LO i pozwoliłem sobie na stwierdzenie: fizykę w LO można opanować mając podstawy matematyczne na poziomie wektorów i prostego rachunku różniczkowego i znając do tego zasadę zachowania energii i prawa dynamiki Newtona. No plus parę "praw" fizycznych, które trzeba przyjąć na wiarę.

[marek252]

Dzięki serdeczne, fajnie się rozpisałeś. Zapowiada się ciekawie, szczególnie te przestrzenie nieskończenie wymiarowe. Wszystko przede mną, poczekamy, zobaczymy, może zrozumiemy .