Dwusieczna kąta

pudelko · Post autor: **pudelko** » 25 sty 2013, o 14:26

Na jednym ramieniu kąta O odmierzono dwa kolejne dowolne odcinki: OA i AB, na drugim ramieniu odmierzono OC=OA i CD=AB, połączono A z D oraz B z C odcinkami AD i BC, przecinającymi się w punkcie E. Dowieść, że półprosta OE jest dwusieczną kąta O.

Zależy mi, by w dowodzie użyto przystawania lub/i symetrii. Jest to zadanie z wykładu Jana Zydlera geometria, gdzie kolejne twierdzenia tworzą jakby piramidę i zadanie jest podane wcześnie właśnie przy dziale ogólnie dotyczącym przystawania i symetrii.

ares41 · Post autor: **ares41** » 25 sty 2013, o 14:29

Uzasadnij, że trójkąty \(\displaystyle{ \Delta\mathrm{CDE}}\) i \(\displaystyle{ \Delta\mathrm{AEB}}\) są przystające.

pudelko · Post autor: **pudelko** » 25 sty 2013, o 14:31

CD=AB, kąt AEB=kąt CED, ale jak udowodnić coś więcej? Powinienem chyba pokazać, że AE jest równe CE, ale nie dokońca wiem jak to zrobić. Symetria?
Z podobieństwa \(\displaystyle{ \Delta}\)BOC i \(\displaystyle{ \Delta}\)DOA (bok, kąt, bok) wnioskuję, iż CB=AD. Ale nic dalej nie wiem. Co da mi przystawanie tych trójkątów? Pownienem chyba raczej udowodnić przystawanie \(\displaystyle{ \Delta}\)OEB i \(\displaystyle{ \Delta}\)OED, by udowodnić równość kątów.

ares41 · Post autor: **ares41** » 25 sty 2013, o 15:16

Ja poszedłbym po najmniejszej linii oporu - zauważ, że \(\displaystyle{ \mathrm{ABDC}}\) jest trapezem równoramiennym. Wtedy \(\displaystyle{ \mathrm{E}}\) jako punkt przecięcia przekątnych tego trapezu leży na jego osi symetrii. Stąd mamy potrzebne kąty. Dalej wystarczy zauważyć, że odległości tego punktu od ramion kąta są równe, bo są to długości wysokości w przystających trójkątach.

pudelko · Post autor: **pudelko** » 25 sty 2013, o 15:26

Ciąle jestem nie do końca usatysfakcjonowany
Może to intuicyjnie oczywiste i od razu widoczne, ale skąd wiemy, że odcinki AC i BD są równoległe?

ares41 · Post autor: **ares41** » 25 sty 2013, o 15:35

Tw. odwrotne do Talesa

pudelko · Post autor: **pudelko** » 25 sty 2013, o 15:56

Nooo, właśnie chodzi o to, że nie chcę tu używać Talesa, Pitagorasa, podobieństwa ani niczego co nie pojawiło się jeszcze w wykładzie o którym wspomniałem wyżej. W zasadzie podobnie jest z samym trapezem. :-D Chciałbym udowodnić to za pomocą jedynie pewników, cech przystawania \(\displaystyle{ \Delta}\), symetrii i paru udowodnionych już twierdzeń o trójkątach:
równe kąty w \(\displaystyle{ \Delta}\) równoramiennym,
większy kąt naprzeciwko większego boku w każdym \(\displaystyle{ \Delta}\),
w \(\displaystyle{ \Delta}\) każdy bok jest mniejszy od sumy pozostałych i większy od różnicy
i pare innych

Może to głupie, ale taką mam zachcianke. Po prostu udowodnić to korzystając z podanych twierdzeń, a w najlepszym wypadku wyłącznie z przystawania, o ile to oczywiście możliwe.