Pole trójkąta i długość promienia

[dusiek1609]

Dwa spośród kątów trójkąta mają miary \(\displaystyle{ \alpha}\),\(\displaystyle{ 2 \alpha}\). Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy R. Wyznacz pole trójkata i długość promienia okręgu wpisanego w dany trójkąt.

[bb314]

\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin2\alpha}=\frac{c}{\sin(180^o-\alpha-2\alpha)}=2R}\)

stąd policzysz boki \(\displaystyle{ a\ b\ c}\) trójkąta

pole \(\displaystyle{ P=\frac{abc}{4R}}\)

pole z innego punktu widzenia \(\displaystyle{ P=\frac{r(a+b+c)}{2}\ \ \ -}\) stąd wyliczysz promień \(\displaystyle{ r}\) okręgu wpisanego

[dusiek1609]

jak obliczyć c?

[bb314]

\(\displaystyle{ \frac{c}{\sin(180^o-\alpha-2\alpha)}=2R\ \ \color{green}\Rightarrow\color{black}\ \ c=2R\sin(180^o-\alpha-2\alpha)}\)

\(\displaystyle{ \sin(180^o-\alpha-2\alpha)=\sin(180^o-3\alpha=\sin3\alpha)\ \ \color{green}\Rightarrow\color{black}\ \ \blue c=2R\sin3\alpha}\)