Długości boków trójkąta

dusiek1609 · Post autor: **dusiek1609** » 19 sty 2013, o 13:38

Dwa spośród kątów trójkąta mają miary \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ 3 \alpha}\). Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa r. Wyznacz długości boków trójkąta i długość promienia okręgu opisanego na daynym trójkącie.

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 19 sty 2013, o 14:14

Proponuję narysować trójkąt wraz z okręgiem, oznaczyć kąty jako:
\(\displaystyle{ \alpha \\ 3 \alpha \\ 180^{\circ}- 4 \alpha = 45^{\circ}-\alpha}\)
Narysować promienie, i dwusieczne kątów trójkąta(bo środek okręgu wpisanego jest punktem przecięcia się dwusiecznych kątów trójkąta) i rozpatrywać poszczególne trójkąty prostokątne i długości odcinków leżących na bokach dużego trójkąta.

Potem sumując poszczególne części otrzymamy długości wszystkich boków dużego trójkąta. Następnie wzór na długość promienia okręgu opisanego na danym trójkącie:
\(\displaystyle{ R= \frac{a}{2 \sin \alpha} \\ a-\text{długość jednego z boków dużego trójkąta} \\ \alpha - \text{kąt leżący naprzeciwko wyżej wymienionego boku}}\)

PS Nie pomyl tych wielkości ze wzoru z wartościami podanymi w treści zadania.
Możliwe, że jest jeszcze jakiś lepszy sposób na rozwiązanie tego zadania.
Pozdrawiam!

dusiek1609 · Post autor: **dusiek1609** » 19 sty 2013, o 14:39

A skąd akurat wiesz że tam są trójkąty prostokątne?

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 19 sty 2013, o 14:41

Styczna do okręgu zawsze tworzy z jego promieniem kąt prosty.
Pozdrawiam!

dusiek1609 · Post autor: **dusiek1609** » 19 sty 2013, o 15:08

aha ale jak obliczyć te boki?

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 19 sty 2013, o 15:56

Rysunek:

: trójkąt okrąg wpisany pole.png (14.36 KiB) Przejrzano 716 razy

Czerwone linie to dwusieczne.
Dawaj dla trójkątów, których jednym z boków jest promień.
Pozdrawiam!