Trókąt równoramieny wpisany w okrąg

[dusiek1609]

Dany jest trójkąt równoramienny ABC o ramionach AC i BC długości 12. Kąt między bokami AC i BC wynosi 2 alpha. Przez środek O okręgu opisanego na trójkącie i wierzchołek A trójkąta poprowadzono prostą, która przecięła bok BC w punkcie K.

[bb314]

I to już koniec?

[dusiek1609]

nie to nie koniec zapomniełąm dopisać żeby wyznaczyć długość odcinka AK

[bb314]

oznaczmy sobie
\(\displaystyle{ AC=b\\CK=y\\OK=x\\AO=CO=R}\)

\(\displaystyle{ \Delta CAO}\) jest równoramienny, więc \(\displaystyle{ \sphericalangle CAO=\alpha}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac12b}{R}=\cos\alpha\ \ \color{green}\Rightarrow\color{black}\ \ \blue R=\frac{b}{2\cos\alpha}}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle COK}\) jest kątem zewnętrznym \(\displaystyle{ \Delta CAO\ \ \color{green}\Rightarrow\color{black}\ \ \sphericalangle COK=2\alpha}\)
z tw. sinusów w \(\displaystyle{ \Delta COK}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{y}{\sin2\alpha}=\frac{R}{\sin\left(180^o-(\alpha+2\alpha)\right)}\ \ \color{green}\Rightarrow\color{black}\ \ \blue y=R\cdot\frac {\sin2\alpha}{\sin3\alpha}}\)

w \(\displaystyle{ \Delta AKC}\) dwusieczna dzieli bok \(\displaystyle{ AK}\) w stosunku
\(\displaystyle{ \frac{x}{R}=\frac{y}{b}\ \ \color{green}\Rightarrow\color{black}\ \ \blue x=\frac{yR}{b}}\)

\(\displaystyle{ \red AK=R+x}\)
i gotowe

[dusiek1609]

Dziękuję