Odcinek dwusiecznej największego kąta

[dusiek1609]

Długości boków trójkąta mają długości 10, 12 i 8. Wyznacz długość zawartego w tym trójkącie odcinka dwusiecznej największego kąta trójkąta.

[octahedron]

Największy kąt jest naprzeciw najdłuższego boku. Dwusieczna dzieli kąta dzieli ten bok na odcinki \(\displaystyle{ x,12-x}\):

\(\displaystyle{ \frac{x}{8}=\frac{12-x}{10} \Rightarrow x=\frac{16}{3}}\)

Z tw. cosinusów:

\(\displaystyle{ 10^2=12^2+8^2-2\cdot 12\cdot 8\cos\alpha \Rightarrow \cos\alpha=\frac{9}{16}}\)

Oznaczmy szukaną długość dwusiecznej jako \(\displaystyle{ d}\), wtedy z tw. cosinusów:

\(\displaystyle{ d^2=8^2+\left(\frac{16}{3}\right)^2-2\cdot 8\cdot\frac{16}{3}\cos\alpha \Rightarrow d=\frac{20}{3}}\)

[dusiek1609]

Dziękuję