Oblicz długość odcinka łączącego środki przekątnych

mmmkm · Post autor: **mmmkm** » 22 cze 2004, o 19:12

Witam,

Mam następujący problem:
W jednym zadaniu, mając dane długości podstaw trapezu trzeba obliczyć długość odcinka łączącego środki jego przekątnych. Rozwiązanie zadania opiera się na wykorzystaniu twierdzenia Talesa, a tym samym z góry jest założone ze odcinek, o którym mowa jest równoległy do podstaw trapezu. Moje pytanie jest następujące: skąd wzięło się takie założenie? Czy jest ono prawdziwe dla każdego trapezu? I jak je udowodnić?
Może odcinek ten zawiera się w środkowej trapezu? A jeśli tak to czy zawsze?

Bardzo proszę o pomoc, bo za tydzień egzaminy na studia

Mmmkm

marshal · Post autor: **marshal** » 22 cze 2004, o 19:58

Masz dobre przeczucie.

Odcinek łączący środki przekątnych trapezu zawiera się w linii środkowej trapezu jest równoległy do podstaw trapezu (tak jak i środkowa)
Wzór na odcinek łączący środki przekątnych trapezu \(\displaystyle{ d=\frac{a-b}{2}}\), gdy a>b, gdzie a, b podstawy trapezu.

Takie i wiele innych informacji znajdziesz w tablicach. Polecam zaopatrzyć się w taką książeczkę. Wciągająca lektura :]

Gość · Post autor: **Gość** » 22 cze 2004, o 21:27

Wielkie dzięki

No cóż - tablice odziedziczone po ojcu nie są obszerne we wzory , ale tej informacji nie było nawet w encyklopedii matematycznej (też po ojcu ).

Pozdrawiam serdecznie
mmmkm

iza · Post autor: **iza** » 22 cze 2004, o 23:45

marshal pisze: Takie i wiele innych informacji znajdziesz w tablicach.

Polecam TABLICE MATEMATYCZNE wydawnictwa PODKOWA (z GDAŃSKA), autorki: Cewe, Nahorska, Pancer.

mmmkm pisze: skąd wzięło się takie założenie? Czy jest ono prawdziwe dla każdego trapezu? I jak je udowodnić?
Może odcinek ten zawiera się w środkowej trapezu? A jeśli tak to czy zawsze?

marshal pisze: Odcinek łączący środki przekątnych trapezu zawiera się w linii środkowej trapezu jest równoległy do podstaw trapezu (tak jak i środkowa)
Wzór na odcinek łączący środki przekątnych trapezu \(\displaystyle{ d=\frac{a-b}{2}}\), gdy a>b, gdzie a, b podstawy trapezu.

Marshal podał informacje prawdziwe (dokładnie tak sformułowane są w tablicach Podkowy), ale nie napisał skąd się to wzięło/jak to udowodnić, a może warto nad tym pomysleć? Ja w każdym razie jutro do tego zerknę.

pozdrawiam

iza · Post autor: **iza** » 23 cze 2004, o 00:36

mmmkm pisze: Może odcinek ten zawiera się w środkowej trapezu?

Tak i umiem to już udowodnić.
Dowód opiera się na kilkukrotnym zastosowaniu następującego faktu:
W trójkącie odcinek łączący środki dwóch boków jest równoległy do trzeciego boku i równy jego połowie (wynika to z tw. Talesa i tw. odwrotnego do tw. Talesa).

marshal pisze: Wzór na odcinek łączący środki przekątnych trapezu \(\displaystyle{ d=\frac{a-b}{2}}\), gdy a>b, gdzie a, b podstawy trapezu.

Tego jeszcze nie umiem udowodnić
Może jutro?

iza · Post autor: **iza** » 23 cze 2004, o 00:41

marshal pisze: Wzór na odcinek łączący środki przekątnych trapezu \(\displaystyle{ d=\frac{a-b}{2}}\), gdy a>b, gdzie a, b podstawy trapezu.

iza pisze:Tego jeszcze nie umiem udowodnić.

Olśnienie Już umiem
Wystarczy znać długość środkowej trapezu (tzn. wzór na nią, z długościami podstaw) i znów zastosować fakt przytoczony wyżej - hura

mmmkm · Post autor: **mmmkm** » 23 cze 2004, o 11:57

No cóż - nie ma to jak olśnienia . Mam nadzieję, że takowych będe doświadczał na egzaminach: obydwa z matmy.

Dzięki jeszcze raz za pomoc.

Pozdrawiam
mmmkm

Yavien · Post autor: **Yavien** » 28 cze 2004, o 06:10

Jedno i drugie zagadnienie można rozwiązać rysując obok siebie dwa trapezy, jeden normalnie (ABCD - podstawy AB i CD), a drugi "do góry nogami" (BEFC podstawy BE i FC). Wtedy mamy równoległobok (2 pary przeciwległych boków równe). A jak równe, to i równoległe. I prosta przechodząca przez środek AD i środek EF musi zawierać środek BC.
I łatwo też widać, dlaczego długość jest równa \(\displaystyle{ \frac{a-b}{2}}\).

Who knew · Post autor: **Who knew** » 21 paź 2006, o 16:11

Powracam do tego zadania, bo muszę jakoś dojśc do tego wzoru na długość linii łączącej te środki przekątnych, jak to zrobić? Jakoś z wektorów?

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 21 paź 2006, o 16:16

Rozwiazanie jest nad Twoim postem...

Who knew · Post autor: **Who knew** » 21 paź 2006, o 16:21

Zależałoby mi na tym czy można to zrobić na wektorach?

[ Dodano: 22 Październik 2006, 11:31 ]
ale jak wygląda dowód, wyprowadzenie wzoru a-b/2?

datr · Post autor: **datr** » 2 sty 2009, o 17:58

Napisałem również ten temat dzisiaj, ale zorientowałem się, że jest. Próbuję zrozumieć sposób z dorysowaniem drugiego trapezu, ale nie za bardzo wiem, gdzie te punkty E i F powinny być... Bo rozumiem, że w trapezie BEFC punkty B i C to te same, co w trapezie ABCD...

pedro92 · Post autor: **pedro92** » 12 lut 2011, o 22:23

Dowód: długość odcinka łączącego środki przekątnych w dowolnym trapezie.
załóżmy że podstawa górna A B dolna D C.
rysujemy przekątne D B i C A i prostą dzielącą ramiona trapezu na połowy F(środek odcinka DA) G(środek przekątnej DB)H(środek przekątnej CA)I(środek ramienia BC) - środkowa (składają się na nią odcinki FG, GH, i HI). Szukamy zalezności między AB DC a GH.
używamy następnie dwóch twierdzeń: na odcinek łączący środki ramion w trapezie:

(AB+DC)/2=FG+GH+HI

, oraz odcinek łączący środki ramion w trójkącie z tego:
rozpatrzmy trójkąt DAC prosta łącząca środki jego ramion to właśnie FG+GH z twierdzenia jest to połowa podstawy czyli FG+GH= DC/2
FG=DC/2-GH
teraz podobnie trójkąt BCD i prosta łącząca środki jego ramion GH+HI
z tw. GH + HI = DC/2
HI=DC/2-GH

potem podstawiając do wzroku coś powinno wyjść mam nadzieje że czegoś nie pomylilem w tych literkach. wrzucam bo sam szukając na googlu nie znalazłem dowodu a może komuś się przyda