Trapez w trójkącie rozwartokątnym

[Granosky]

W trójkącie rozwartokątnym \(\displaystyle{ ABC}\) o polu równym \(\displaystyle{ 7,5}\) dane są \(\displaystyle{ AB=5 CB=5.}\) W trójkąt ten wpisano trapez prostokątny \(\displaystyle{ EBFD}\) tak jak na rysunku. Przy jakiej wysokości trapezu jego pole jest największe?

[anna_]

A gdzie rysunek?

[Granosky]

[anna_]

Trapez w trójkącie rozwartokątnym.png (8.39 KiB) Przejrzano 866 razy

Nie wiem czy to najkrótszy sposób.

Z pola trójkąta liczysz jego wysokość - \(\displaystyle{ h_t=3}\)
Z Pitagorasa dla trójkąta \(\displaystyle{ BGC}\) liczysz \(\displaystyle{ |BG|=4}\)

Z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ AGC}\) i \(\displaystyle{ AED}\) mamy:
\(\displaystyle{ \frac{|CG|}{|AG|} = \frac{|DE|}{|AE|}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{9} = \frac{h}{5-a}}\)
\(\displaystyle{ a=5-3h}\)

Z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ DFC}\) mamy:
\(\displaystyle{ \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|DF|}{|FC|}}\)
\(\displaystyle{ \frac{5}{5} = \frac{b}{5-c}}\)
\(\displaystyle{ c=5-b}\)

Z Pitagorasa dla trójkąta \(\displaystyle{ BFH}\)
\(\displaystyle{ h^2+(b-a)^2=c^2}\)
Podstawiasz \(\displaystyle{ a=5-3h}\) i \(\displaystyle{ c=5-b}\) i liczysz \(\displaystyle{ b}\)

Potem do wzoru na pole trapezu i szukasz maksimum.