Witam
Mam do rozwiązania dwa zadania. Problem w tym, że każde z nich musi być rozwiązane dwoma sposobami. Będę wdzięczna za pomoc.
1. Oblicz długość dwusiecznej kąta A w trójkącie ABC o bokach długości a, b, c.
2. Boki trójkąta ABC mają długość |AB| = 4, |AC|=|BC| =8. Oblicz długości promieni okręgów wpisanego w trójkąt ABC i opisanego na nim. Oblicz stosunek pól figur, na które symetralna boku AC rozcina trójkąt ABC.
Długość dwusiecznej kąta
-
bb314
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Namysłów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 321 razy
Długość dwusiecznej kąta
1.
dwusieczna dzieli bok \(\displaystyle{ a}\) w ten sposób, że
\(\displaystyle{ \frac{x}{a-x}=\frac{c}{b}\ \ \ \to\ \ \blue x=\frac{ac}{b+c}\ \ \ \ \ a-x=\frac{ab}{b+c}}\)
z tw. kosinusów w \(\displaystyle{ \Delta ABD\ \ \ x^2=c^2+d^2-2cd\cos\frac{\alpha}{2}\ \ \ \to\ \ \ \cos\frac{\alpha}{2}=\frac{c^2+d^2-x^2}{2cd}}\)
\(\displaystyle{ \cos\frac{\alpha}{2}=\frac{c^2+d^2-\left( \frac{ac}{b+c}\right) ^2}{2cd}\ \ \ \to\ \ \ \blue \cos\frac{\alpha}{2}=\frac{c^2(b+c)^2+d^2(b+c)^2-a^2c^2}{2cd(b+c)2}}\)
z tw. kosinusów w \(\displaystyle{ \Delta ADC\ \ \ (a-x)^2=b^2+d^2-2bd\cos\frac{\alpha}{2}}\)
\(\displaystyle{ \left(\frac{ab}{b+c}\right)^2 =b^2+d^2-2bd\frac{c^2(b+c)^2+d^2(b+c)^2-a^2c^2}{2cd(b+c)2}\ \ /\cdot c(b+c)^2}\)
\(\displaystyle{ a^2b^2c=b^2c(b+c)^2+cd^2(b+c)^2+a^2bc^2-bc^2(b+c)^2-bd^2(b+c)^2}\)
\(\displaystyle{ a^2b^2c-a^2bc^2=(b+c)^2\left(b^c-bc^2-bd^2+cd^2 \right)}\)
\(\displaystyle{ a^2bc(b-c)=(b+c)^2\left[bc\left(b-c\right)-d^2(b-c)\right]=(b+c)^2(b-c)(bc-d^2)\ \ /:(b-c)}\)
\(\displaystyle{ a^2bc=(b+c)^2(bc-d^2)\ \ \ \ \to\ \ \ d^2=bc-\frac{a^2bc}{(b+c)^2}=\frac{bc\left[ (b+c)^2-a^2\right]}{(b+c)^2}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{bc\left[ (b+c)-a\right]\left[ (b+c+a)\right] }{(b+c)^2}\ \ \ \to\ \ \ \magenta d=\frac{\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}{b+c}}\)
drugi sposób
pole \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) ze wzoru Herona
\(\displaystyle{ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\ \ gdzie\ \ p=\frac{a+b+c}{2}\ \ \ \ \ \to}\)
\(\displaystyle{ \blue S=\frac14\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}\)
z tw. kosinusów w \(\displaystyle{ \Delta ABC\ \ \ \ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\ \ \to\ \ \blue \cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}\)
pole \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) jest sumą pól \(\displaystyle{ \Delta ABD}\) i \(\displaystyle{ \Delta ADC}\)
\(\displaystyle{ S=\frac12cd\sin\frac{\alpha}{2}+\frac12bd\sin\frac{\alpha}{2}=\frac12d(b+c)\sin\frac{\alpha}{2}=\frac12d(b+c)\cdot\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac12d(b+c)\cdot\sqrt{\frac{1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{2}}=\frac12d(b+c)\cdot\sqrt{\frac{2bc-b^2-c^2+a^2}{4bc}}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac14d(b+c)\cdot\sqrt{\frac{a^2-(b-c)^2}{bc}}\ \ \ \to\ \ \ \blue S=\frac14d(b+c)\cdot\sqrt{\frac{(a-b+c)(a+b-c)}{bc}}}\)
\(\displaystyle{ d= S\cdot\frac{4}{b+c}\sqrt{\frac{bc}{(a-b+c)(a+b-c)}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac14\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}\cdot\frac{4}{b+c}\sqrt{\frac{bc}{(a-b+c)(a+b-c)}}\)
\(\displaystyle{ \magenta d=\frac{\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}{b+c}}\)
dwusieczna dzieli bok \(\displaystyle{ a}\) w ten sposób, że
\(\displaystyle{ \frac{x}{a-x}=\frac{c}{b}\ \ \ \to\ \ \blue x=\frac{ac}{b+c}\ \ \ \ \ a-x=\frac{ab}{b+c}}\)
z tw. kosinusów w \(\displaystyle{ \Delta ABD\ \ \ x^2=c^2+d^2-2cd\cos\frac{\alpha}{2}\ \ \ \to\ \ \ \cos\frac{\alpha}{2}=\frac{c^2+d^2-x^2}{2cd}}\)
\(\displaystyle{ \cos\frac{\alpha}{2}=\frac{c^2+d^2-\left( \frac{ac}{b+c}\right) ^2}{2cd}\ \ \ \to\ \ \ \blue \cos\frac{\alpha}{2}=\frac{c^2(b+c)^2+d^2(b+c)^2-a^2c^2}{2cd(b+c)2}}\)
z tw. kosinusów w \(\displaystyle{ \Delta ADC\ \ \ (a-x)^2=b^2+d^2-2bd\cos\frac{\alpha}{2}}\)
\(\displaystyle{ \left(\frac{ab}{b+c}\right)^2 =b^2+d^2-2bd\frac{c^2(b+c)^2+d^2(b+c)^2-a^2c^2}{2cd(b+c)2}\ \ /\cdot c(b+c)^2}\)
\(\displaystyle{ a^2b^2c=b^2c(b+c)^2+cd^2(b+c)^2+a^2bc^2-bc^2(b+c)^2-bd^2(b+c)^2}\)
\(\displaystyle{ a^2b^2c-a^2bc^2=(b+c)^2\left(b^c-bc^2-bd^2+cd^2 \right)}\)
\(\displaystyle{ a^2bc(b-c)=(b+c)^2\left[bc\left(b-c\right)-d^2(b-c)\right]=(b+c)^2(b-c)(bc-d^2)\ \ /:(b-c)}\)
\(\displaystyle{ a^2bc=(b+c)^2(bc-d^2)\ \ \ \ \to\ \ \ d^2=bc-\frac{a^2bc}{(b+c)^2}=\frac{bc\left[ (b+c)^2-a^2\right]}{(b+c)^2}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{bc\left[ (b+c)-a\right]\left[ (b+c+a)\right] }{(b+c)^2}\ \ \ \to\ \ \ \magenta d=\frac{\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}{b+c}}\)
drugi sposób
pole \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) ze wzoru Herona
\(\displaystyle{ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\ \ gdzie\ \ p=\frac{a+b+c}{2}\ \ \ \ \ \to}\)
\(\displaystyle{ \blue S=\frac14\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}\)
z tw. kosinusów w \(\displaystyle{ \Delta ABC\ \ \ \ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\ \ \to\ \ \blue \cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}\)
pole \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) jest sumą pól \(\displaystyle{ \Delta ABD}\) i \(\displaystyle{ \Delta ADC}\)
\(\displaystyle{ S=\frac12cd\sin\frac{\alpha}{2}+\frac12bd\sin\frac{\alpha}{2}=\frac12d(b+c)\sin\frac{\alpha}{2}=\frac12d(b+c)\cdot\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac12d(b+c)\cdot\sqrt{\frac{1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{2}}=\frac12d(b+c)\cdot\sqrt{\frac{2bc-b^2-c^2+a^2}{4bc}}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac14d(b+c)\cdot\sqrt{\frac{a^2-(b-c)^2}{bc}}\ \ \ \to\ \ \ \blue S=\frac14d(b+c)\cdot\sqrt{\frac{(a-b+c)(a+b-c)}{bc}}}\)
\(\displaystyle{ d= S\cdot\frac{4}{b+c}\sqrt{\frac{bc}{(a-b+c)(a+b-c)}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac14\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}\cdot\frac{4}{b+c}\sqrt{\frac{bc}{(a-b+c)(a+b-c)}}\)
\(\displaystyle{ \magenta d=\frac{\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}{b+c}}\)