czworokąt i okrąg

[Granosky]

W okrąg wpisano czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\) taki, że jego przekątna \(\displaystyle{ AC}\) leży na średnicy okręgu, a druga przekątna \(\displaystyle{ BD}\) i bok \(\displaystyle{ DC}\) są takiej samej długości. Punkt \(\displaystyle{ P}\) przecięcia się przekątnych czworokąta jest tak położony, że długość odcinka \(\displaystyle{ AP}\) stanowi \(\displaystyle{ \frac{5}{3}}\) promienia okręgu. Zapisz długość boku \(\displaystyle{ AB}\) w zależności od promienia okręgu.

[bb314]

Przy Twoich danych zadanie jest awykonalne. Przyjęłam więc, że \(\displaystyle{ AP=\frac35R}\)



Żeby było \(\displaystyle{ BD=CD}\) dwusieczna \(\displaystyle{ \angle CDB}\) musi przechodzić przez środek okręgu, zatem
\(\displaystyle{ \angle PDS=\angle CDS=\angle DCS=\alpha\ \ \ \ \ \ \angle DPS=\gamma=180^o-3\alpha}\)
z tw. sinusów w \(\displaystyle{ \Delta DPS}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{PS}{\sin\alpha}=\frac{DS}{\sin\gamma}\ \ \to\ \ \frac{\frac25R}{\sin\alpha}=\frac{R}{\sin 3\alpha}\ \ \to\ \ \blue \frac{\sin3\alpha}{\sin\alpha}=\frac52}\)
\(\displaystyle{ \sin3\alpha=\sin(2\alpha+\alpha)=\sin2\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\cos2\alpha=2\sin\alpha\cos^2\alpha+\sin\alpha(2\cos^2\alpha-1)=}\)
\(\displaystyle{ =\sin\alpha\left( 4\cos^2\alpha-1\right)\ \ \ \to\ \ \ 4\cos^2\alpha-1=\frac52\ \ \to\ \ 2\cos2\alpha=\frac52-1\ \ \to\ \ \blue \cos2\alpha=\frac34}\)
jako kąty wpisane oparte na tym samym łuku \(\displaystyle{ \angle ADB=\angle ACB=\beta}\)
\(\displaystyle{ \Delta ACD}\) jest prostokątny, więc \(\displaystyle{ \beta=90^o-2\alpha}\)
w prostokątnym \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) mamy \(\displaystyle{ AB=AC\sin\beta=2R\sin(90^o-2a)=2R\cos2\alpha}\)
\(\displaystyle{ AB=2R\cdot \frac34\ \ \ \ \to\ \ \ \ \magenta AB=1,5R}\)

[Granosky]

Jeżeli miałby ktoś jeszcze jakieś inne rozwiązanie to bym poprosił.