Twierdzenie sinusów i cosinusów w zadaniach.

[dorota12]

1) Romb o kącie ostrym \(\displaystyle{ \alpha}\) i boku długości a podzielono prostymi wychodzącymi z wierzchołka tego kąta na trzy części o równych polach. Wyznacz długości odcinków tych prostych, zawartych w rombie.

2) Dany jest trójkąt o kątach wewnętrznych \(\displaystyle{ \alpha , \beta , \gamma.}\)
Wykaż, że \(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta > \sin \gamma}\)

3) Wyznacz promień okręgu opisanego na trapezie \(\displaystyle{ ABCD}\), o podstawach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) i wysokości równej \(\displaystyle{ 2}\), w którym ramię \(\displaystyle{ BC}\) ma długość \(\displaystyle{ 5}\), a przekątna \(\displaystyle{ AC}\) ma długość \(\displaystyle{ 10}\).

[piasek101]

1) Pole rombu ze wzoru z bokami i sinusem kąta.

Pole trójkąta też. Dostaniesz brakujący bok trójkąta i cosinusy do tego.

2) \(\displaystyle{ \gamma=\alpha+\beta}\)

3) Ten okrąg lest też opisany na jakimś trójkącie.

[dorota12]

Czyli Pole równa się \(\displaystyle{ a ^{2} \cdot sin \alpha}\)? Każda z powstałych figur będzie miała takie pole tylko podzielone przez trzy? Jak mam wyznaczyć te odcinki ?

[piasek101]

1)Jeden bok trójkąta ma (a).

[dorota12]

Dalej nie mam pojęcia jak to rozwiązać skoro bok a nie jest podstawą trójkąta. podstawa jest naszym szukanym odcinkiem, wysokości nie znamy, więc przyrównanie do pola nic nam nie daje

[piasek101]

Pisałem - najpierw bok (z pola); potem ,,podstawa" z cosinusów.

[denatlu]

2.
\(\displaystyle{ \sin \alpha=\frac{a}{2R} , \sin \beta=\frac{b}{2R} , \sin \gamma=\frac{c}{2R}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}>\frac{c}{2R}}\)

\(\displaystyle{ a+b>c}\)

ale pewnie lepiej byłoby to przepisać od końca.