Udowodnij ze proste sa prostopadle

[Piotrek5000]

78 zadanie ze zbioru Pompe

Dany jest trójkat ABC, w którym AC =BC. Punkt D
jest srodkiem boku AB, a punkt E jest rzutem prostokatnym
punktu D na prosta BC. Punkt M jest srodkiem odcinka DE
(rys. 78). Dowiesc, ze proste AE i CM sa prostopadłe.

[octahedron]

\(\displaystyle{ \vec{CD}\perp\vec{AD}\\\\
\vec{DE}\perp\vec{CB}\\\\
\vec{DE}\perp\vec{CE}\\\\
\vec{MC}=\vec{CD}+\frac{1}{2}\vec{DE}\\\\
\vec{EA}=\vec{AD}+\vec{DE}\\\\
\vec{MC}\cdot\vec{EA}=\\\\
=\vec{CD}\cdot\vec{AD}+\frac{1}{2}\vec{DE}\cdot(\vec{AD}+2\vec{CD}+\vec{DE})=\\\\
=\frac{1}{2}\vec{DE}\cdot(\vec{DB}+\vec{CD}+\vec{DE}+\vec{CD})=\\\\
=\frac{1}{2}\vec{DE}\cdot(\vec{CB}+\vec{CE})=0 \Rightarrow \vec{MC}\perp\vec{EA}}\)

[Piotrek5000]

Tez mi sie wlasnie udalo zrobic to zadanie z zastosowaniem iloczynu skalarnego, tylko wolalbym synetyczna wersje rozwiazania ;p